1 . 如图，，．求证：．

3 . 如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到．易证：，从而得．

   

【实践探究】
（1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________．
（2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长．

4 . 如图1，四边形是正方形，是边上的一个动点（点与不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：

   

（）猜想如图中线段，线段的数量关系是______ ；线段，的位置关系____
类比探究：
（）将图中的正方形绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图，如图情形，请你判断（）中得到的结论是否仍然成立，并选取图证明你的判断；
拓展应用：
（）已知，，在正方形绕点旋转的过程中，当点在同一条直线上时，的长度是多少？请直接写出答案

6 . 如图1，在正方形中，，O是边的中点，E是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接．

(1)求证：；
(2)求 的面积的最小值；
(3)如图2，若A，E，O三点共线，求点 F到直线的距离．

8 . 问题背景：如图1，在正方形中，边长为4．点M，N是边上两点，且，连接，，与相交于点．

   

(1)探索发现：探索线段与的数量关系和位置关系，并证明；
(2)拓展提高：如图2，延长至P，连接，若，求线段的长．

9 . 如图，在正方形中，，E和F分别是边，上的点，且，和交于点O，P为的中点，则______．

   

10 . （1）如图1，图2，图3，在中，分别以为边，向外作正三角形，正四边形，正五边形，相交于点O．

①如图1，容易得到______；
②探究：如图1，______；
如图2，______；
如图3，______；
（2）如图4，已知：是以为边向外所作正n边形的一组邻边；，是以为边向外所作正n边形的一组邻边，与的延长线相交于点O，则______（用含n的式子表示）．