1 . 如图，
，
，
．求证：
．
，，．求证：．
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2 . 如图，平行四边形
中，
、
分别是
、
的中点．
；
(2)连接
，当
与满足条件________时，四边形
是矩形．
中，、分别是、的中点．
；(2)连接
，当与满足条件________时，四边形是矩形．
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名校
3 . 在
中，
，平分
，点是段上的动点（不与
重合）
(1)如图，若
，求证：
．是线段
延长线上的一点，且
，
求证：是
的中点；
将线段
绕点顺时针旋转
得到线段
，连接
，求证
．
中，，平分，点是段上的动点（不与重合）(1)如图，若
，求证：．
是线段延长线上的一点，且，求证：是的中点；将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求证．
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名校
4 . （1）计算：
．
（2）如图，点A、F、C、D在一条直线上，
且，
．求证：
．
．（2）如图，点A、F、C、D在一条直线上，
且，．求证：．
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名校
5 . 如图，在四边形中，
，
，
，求证：
．
中，，，，求证：．
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6 . 综合与实践
数学活动课上，同学们将直角三角形
和
的直角顶点
重合，来研究几何知识．
实践操作：
（一）如图①，和是等腰直角三角形，
，
，
；
（二）在图①中，取中点
，连接
并延长交
于点
，延长
至点
，使
，连接
、
，得到图②．
（三）如图③，和是直角三角形，
，
；
（一）在图①中，若
，
，
则
；
＝ ；
°；
（二）在图②中，（1）
与的位置关系为 ；
（2）证明
．
（三）在（1）问条件下，图②中
；
拓展延伸
（四）在图③中，若
，则 ．（用含
的代数式表示）．
数学活动课上，同学们将直角三角形
和的直角顶点重合，来研究几何知识．实践操作：
（一）如图①，
和是等腰直角三角形，，，；（二）在图①中，取
中点，连接并延长交于点，延长至点，使，连接、，得到图②．（三）如图③，
和是直角三角形，，；
（一）在图①中，若
，，则
；＝ ； °；（二）在图②中，（1）
与的位置关系为 ；（2）证明
．（三）在（1）问条件下，图②中
；拓展延伸
（四）在图③中，若
，则 ．（用含的代数式表示）．
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7 . 等边的边长为2，
为内一点，连接
，
，延长到点
，使
．
到点，使
，连接
，．
①求证：
；
②若
，求
的度数；
(2)如图2，连接，若
，
，则
__________．
的边长为2，为内一点，连接，，延长到点，使．
到点，使，连接，．①求证：
；②若
，求的度数；(2)如图2，连接
，若，，则__________．
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8 . 如图1，在正方形中，点是边上一动点，将
沿
向左平移得到
，且
，
与相交于点
，连接
．
；
(2)探究
与的位置关系，并说明理由；
(3)如图2，点是
上一动点，过点作
，分别与
，射线交于点
，连接
，若
，当
面积取最小值时，求
的最小值．
中，点是边上一动点，将沿向左平移得到，且，与相交于点，连接．
；(2)探究
与的位置关系，并说明理由；(3)如图2，点
是上一动点，过点作，分别与，射线交于点，连接，若，当面积取最小值时，求的最小值．
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9 . 【方法回顾】
如图1，在中，D，E分别是边
的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使
，连接，证明
，再证四边形
是平行四边形即得证．
①证明的依据是（_____）
A．
B．
C．
D．
②证明四边形是平行四边形的依据是_______；
【类比迁移】
（2）如图2，是的中线，
交于点E，交于点F，且
，求证：
．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长至点G，使
，连接
，请根据小明的思路完成证明过程；
【理解运用】
（3）如图3，四边形与四边形
均为正方形，连接
，点P是
的中点，连接
．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明）
如图1，在
中，D，E分别是边的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长到点F，使，连接，证明，再证四边形是平行四边形即得证．
①证明
的依据是（_____）A．
B． C． D．②证明四边形
是平行四边形的依据是_______；【类比迁移】
（2）如图2，
是的中线，交于点E，交于点F，且，求证：．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长
至点G，使，连接，请根据小明的思路完成证明过程；【理解运用】
（3）如图3，四边形
与四边形均为正方形，连接，点P是的中点，连接．请判断线段与的数量关系及位置关系．（不要求证明）
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名校
10 . 如图，在中，，
，点在上，求证：
．
中，，，点在上，求证：．
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