1 . 如图，
和
相交于点
，
，
，求证：
．
和相交于点，，，求证：．
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2 . 如图，和相交于点O，
，求证：．
和相交于点O，，求证：．
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3 . 如图，在正方形
中，
为
边的中点，
为对角线
上的一点，连接
交于点
．连接
，
，
．
．
(2)若
，求证：
．
(3)若
，
，求
的长．
中，为边的中点，为对角线上的一点，连接交于点．连接，，．
．(2)若
，求证：．(3)若
，，求的长．
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4 . 综合与实践
问题情境：
综合实践课上，老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．善思小组发现特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题，如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形．他们通过探究提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，具体操作如下：如图1，在等腰三角形
中，
为
边上一点，过点B作
，且
，以点E为圆心，
长为半径画弧，交
的延长线于点F，连接
并延长，交
的延长线于点G，连接
．
（1）①图1中
与
的数量关系为___________；
②在不添加字母的条件下找出图1中的平行四边形，并说明理由．
（2）如图1，试猜想
与
的位置关系，并给出证明．
拓展应用：
（3）如图2，在等腰三角形中，其他条件不变，若射线恰好经过的中点O，且
，
，请直接写出的长．
问题情境：
综合实践课上，老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．善思小组发现特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题，如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形．他们通过探究提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，具体操作如下：如图1，在等腰三角形
中，为边上一点，过点B作，且，以点E为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点F，连接并延长，交的延长线于点G，连接．
（1）①图1中
与的数量关系为___________；②在不添加字母的条件下找出图1中的平行四边形，并说明理由．
（2）如图1，试猜想
与的位置关系，并给出证明．拓展应用：
（3）如图2，在等腰三角形
中，其他条件不变，若射线恰好经过的中点O，且，，请直接写出的长．
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5 . （1）问题发现
和
中，
，
，
，连接
、
，则、
的数量关系是
，，所在直线相交所成夹角的度数为______．
（2）类比探究
如图
，在和中，，
，连接，，请判断，的数量关系及，所在直线相交所成夹角的度数，并说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将绕点
在平面内旋转．若
，
，请直接写出当直线经过点
时的长．
和中，，，，连接、，则、的数量关系是，，所在直线相交所成夹角的度数为______．（2）类比探究
如图
，在和中，，，连接，，请判断，的数量关系及，所在直线相交所成夹角的度数，并说明理由．（3）拓展延伸
在（2）的条件下，将
绕点在平面内旋转．若，，请直接写出当直线经过点时的长．
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6 . 已知：如图，点D在
内部，连接
．若
．求证：
．
内部，连接．若．求证：．
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2024九年级下·全国·专题练习
7 . 如图，点C为线段上一点，分别以
，为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰
和等腰
，且
．在线段
上取一点F，使
，连接
，．
；
(2)如图2，若
，的延长线恰好经过的中点G，求的长．
上一点，分别以，为等腰三角形的底边，在的同侧作等腰和等腰，且．在线段上取一点F，使，连接，．
；(2)如图2，若
，的延长线恰好经过的中点G，求的长．
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8 . 如图，在
和
中，
，
，
．求证：
．
和中，，，．求证：．
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名校
9 . 如图，点、在
上，且
．求证：
．
、在上，且．求证：．
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2024-06-08更新
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397次组卷
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8卷引用：2024年福建省南平市光泽县第一中学中考模拟数学试题
2024年福建省南平市光泽县第一中学中考模拟数学试题2024年云南省云南师范大学附属中学呈贡校区九年级数学月考题（五）2024年广东省广州市第二中学中考二模数学试题2024年云南省玉溪市通海县初中学业水平考试模拟数学试题江苏省宿迁市泗阳县2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（已下线）专题04 三角形（考点清单）-2023-2024学年七年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）（已下线）专题04 三角形（考点清单）-2023-2024学年七年级数学下学期期末考点大串讲（北师大版）（已下线）北师大版七年级数学下学期期末模拟试卷01-2023-2024学年七年级数学下学期考试满分全攻略高频考点+重难点讲练与测试（北师大版）
10 . 给出一个新定义：有两个等腰三角形，如果它们的顶角相等、顶角顶点互相重合且其中一个等腰三角形的一个底角顶点在另一个等腰三角形的底边上，那么这两个等腰三角形互为“友好三角形”．和
互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），
，
，
，连接
，则________（填“<”或“=”或“>”），
________°；
(2)如图②，和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，
，M、N分别是底边
的中点，请探究
与的数量关系，并说明理由；
(3)如图③，和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，
，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含
的式子表示）
和互为“友好三角形”，点D是边上一点（不与点B重合），，，，连接，则________（填“<”或“=”或“>”），________°；(2)如图②，
和互为“友好三角形”，点D是边上一点，，，，M、N分别是底边的中点，请探究与的数量关系，并说明理由；(3)如图③，
和互为“友好三角形”，点D是边上一动点，，，，M、N分别是底边的中点，请直接写出与的数量关系（用含的式子表示）
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