1 . 如图，
与
的顶点C 重合，
交
于点F，已知
，
． 求证：
．
与的顶点C 重合，交于点F，已知，． 求证：．
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2 . 小聪自编一题：“如图，在四边形
中，
，
，求证：
”，并将自己的证明过程与小明交流．
若赞同小聪的证法，请在第一个方框内打“√”若赞成小明的说法，请你完成证明．
中，，，求证：”，并将自己的证明过程与小明交流．| 小聪： 在  和 中 ，， ， 小明： 你的想法不对，这组相等的角不是相等的两组边的夹角，不符合课本上的全等三角形判定定理，我认为这题可以适当添加辅助线来完成证明． |
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3 . 如图①，抛物线
与
轴交于点
和点
，与
轴交于点
，连接
．点
从点
出发，沿线段
方向匀速运动，运动到点时停止．的表达式；
(2)当
时，求点的坐标；
(3)如图②，点从点开始运动时，点
从点同时出发，以与点相同的速度沿轴负方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接
，
，求
的最小值．
与轴交于点和点，与轴交于点，连接．点从点出发，沿线段方向匀速运动，运动到点时停止．
的表达式；(2)当
时，求点的坐标；(3)如图②，点
从点开始运动时，点从点同时出发，以与点相同的速度沿轴负方向匀速运动，点停止运动时点也停止运动．连接，，求的最小值．
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4 . 在新学活动课上，学习小组的同学们制作了两个特殊的直角三角板（
和
），按如图的方式放置，已知
，
，
，连接
，
．
是平行四边形；
(2)若四边形是菱形，求菱形的面积和
的长．
和），按如图的方式放置，已知，，，连接，．
是平行四边形；(2)若四边形
是菱形，求菱形的面积和的长．
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5 . 如图，
，点
在
上，
．求证：
．
证明：
，
， 第一步
在和
中，
， 第二步
． 第三步
任务一：
①以上证明过程中，第一步依据的定理是：______；
②从第______步出现错误；具体错误是______；
任务二：请写出正确的证明过程．
，点在上，．求证：．
证明：
，， 第一步在
和中，， 第二步． 第三步任务一：
①以上证明过程中，第一步依据的定理是：______；
②从第______步出现错误；具体错误是______；
任务二：请写出正确的证明过程．
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6 . 如图，平行四边形的对角线相交于点
，
，
两点分别为
，
的中点，连接，．
；
(2)连接
，
，请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由）
的对角线相交于点，，两点分别为，的中点，连接，．
；(2)连接
，，请添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要说明理由）
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7 . 如图，在
中，
，垂足分别为G 、H，E 、F分别是
、
的中点，连接
．
；
(2)连接，若
，则四边形
的面积为 ．
中，，垂足分别为G 、H，E 、F分别是、的中点，连接．
；(2)连接
，若，则四边形的面积为 ．
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名校
8 . 【模型提出】如图
，已知线段的长度为
，在线段所在直线外有一点，且
，想确定满足条件的点的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形
，再以点为圆心，
长为半径画圆，则点在
的优弧
上.即：若线段的长度已知，
的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.
【模型应用】如图
，在正方形中，
，点
分别是边、上的动点，
，连接、
，与交于点
.
；
(2)点从点到点的运动过程中，点经过的路径长为______；
(3)若点
是
的内心，连接
，则线段的最小值为______.
，已知线段的长度为，在线段所在直线外有一点，且，想确定满足条件的点的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点为圆心，长为半径画圆，则点在的优弧上.即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型.【模型应用】如图
，在正方形中，，点分别是边、上的动点，，连接、，与交于点.
；(2)点
从点到点的运动过程中，点经过的路径长为______；(3)若点
是的内心，连接，则线段的最小值为______.
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2024-06-11更新
|
118次组卷
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2卷引用：吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年九年级下学期期中数学试题
名校
9 . 问题提出
（1）如图1，为⊙O的弦，
，点是⊙O上的一个动点，且
，则的最大值为 ；
（2）如图2，在矩形中，
，
，以为斜边在矩形外部作直角三角形
，为的中点，求
的最大值；
（3）如图3，老李家有一正方形花园，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，
米，边上有两个点、，使得
，连接
、．在
与
区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点，在点处设计一个凉亭．连接
，交于点
，在处设计一口水井．老李想在与
之间铺设条笔直的水管，为了节约成本，要求
的长度尽可能的小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．
（1）如图1，
为⊙O的弦，，点是⊙O上的一个动点，且，则的最大值为 ；
（2）如图2，在矩形
中，，，以为斜边在矩形外部作直角三角形，为的中点，求的最大值；
（3）如图3，老李家有一正方形花园
，他想对其进行设计改造，种植对称的植物，使得整个花园呈现出一种平衡和谐的感觉．在正方形中，米，边上有两个点、，使得，连接、．在与区域种植花卉，是花园内一条小路，与交汇于点，在点处设计一个凉亭．连接，交于点，在处设计一口水井．老李想在与之间铺设条笔直的水管，为了节约成本，要求的长度尽可能的小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．
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2024-06-11更新
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83次组卷
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3卷引用：2024年陕西省渭南市蒲城县九年级下学期初中学业水平考试对抗赛数学试题
10 . 如图，正方形
的直角顶点O为正方形的中心，O、C、E三点和O、D、G三点分别都在同一直线上，现将正方形绕点O逆时针旋转
角
，连接、
．
；
(2)若
，求
的度数．
的直角顶点O为正方形的中心，O、C、E三点和O、D、G三点分别都在同一直线上，现将正方形绕点O逆时针旋转角，连接、．
；(2)若
，求的度数．
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