1 . 如图，已知与相交于点，，，求证：．

2 . 实践与探究：

【操作一】：如图①，已知矩形纸片，点和点分别是和上的点，将矩形沿折叠，使点与点重合，点的对应点是点．求证：；

【操作二】：在操作一的基础上，将矩形纸片沿继续折叠，点的对应点是点．我们发现，当矩形的邻边长度比值不同时，点的位置也不同．如图（2），当点恰好落在折痕上时，     ；

【拓展】：如图（3），在【操作二】中点恰好落在折痕上时，点N为上任意一点，连接、．若，则的最小值为     ．

3 . 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点E，F，连接，，如果，则____．

4 . 如图，点C，D在线段上，，证明：

5 . 如图，直线经过的对角线交点，若的面积为，则四边形的面积为__________．
   

6 . 【方法探索】小米遇到了这样的问题：
   
如图①，两条相等的线段交于点，连接，求证：．
小米的想法如下：通过构造平行四边形，利用平行四边形的性质转移线段的位置．以下是小米的部分证明过程：
证明：过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线交于点，连接．请将解题过程补充完整．
【方法应用】如图②，在梯形中，，延长交于点，在上截取，过点作交于点，则线段的数量关系是_______．

7 . 知识探究：如图1，点E是正方形对角线AC上任意一点，以点E为直角顶点的直角两边，分别角与，相交于M点，N点．当时，请探究与的数量关系，并说明理由；
拓展探究：当绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图2，请探究与的数量关系，并说明理由；
迁移运用：在图2的基础上，过点E作于点H，如图3，证明H是线段的中点．

   

8 . 如图，在正方形中，为中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．若，则的长为______．
   

9 . 如图，点在一条直线上，点是的中点，．
求证：．
   

10 . 如图，四边形的对角线交于点，． 求证：四边形是平行四边形．