1 . 在中，，，在平面内，把绕点旋转得到，垂直直线，垂足为，的延长线交于点．

(1)如图①，若，求证：是等腰三角形；
(2)如图②，若点在上，求证：点是的中点；
(3)连接，写出的最大值和最小值，并在图上画出对应的图形．

2 . 综合与实践：动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板，他们将一块直角三角板（，）的直角顶点放置在另一块直角三角板（，）斜边的中点处，并将三角板绕点任意旋转．
发现结论：
(1)如图，三角板的两边分别与另一块三角板的边交于点（规定：此时点均在边上运动），他们在旋转过程中，发现线段与的长总相等及四边形的面积不会发生变化．

问题解决：
①请你帮他们说明的理由；
②若，请你帮他们求出四边形的面积．
拓展延申：
(2)如图，连接，当，时，那么直角三角板在绕点旋转一周的过程中，请你直接写出线段长的最小值和最大值．

3 . 如图，相互平行的三条直线，，，与，与之间的距离分别为1，3，若在三条直线上各取一点，构造一个等腰直角三角形，那么作出的等腰直角三角形面积最大值为______．

4 . 如图，在中，．，点始终在的上方，且，点为射线上任意一点（点与点不重合），连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，直线交直线于点．
   
(1)如图，当时，求证；
(2)当点为边的中点时，连接，求的最大值；
(3)如图，若，时，求的面积．

5 . 如图，矩形中，点为边的中点，一个含角的三角板的直角顶点与点重合，两直角边可正好经过矩形的顶点和（如图①）．
   
(1)求证：．
(2)如图②，将三角板绕点按顺时针方向旋转，使其两直角边分别与矩形的边和边交于点（当点与点重合时停止旋转），若，求面积的最大值．
   

6 . 如图，已知正方形的边长为1，点是线段上的动点，过点作，使，连接交于点，交于点.以下结论正确的是_______.

①；       ②；
③点到直线的距离最大值为；       ④点到直线的距离最大值为.

7 . 如图，已知中，，D是的中点，于点E；连接，则下列结论正确的是___________．(写出所有正确结论的序号)

①；                                        ②当E为中点时，﹔
③若，则；                    ④若，则面积的最大值为2．

8 . 新定义：若四边形的一组对角均为直角，则称该四边形为对直四边形．
　
(1)下列四边形为对直四边形的是______（写出所有正确的序号）；
①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．
(2)如图，在对直四边形ABCD中，已知，O为AC的中点．
①求证：BD的垂直平分线经过点O；
②若AB＝6，BC＝8，请在备用图中补全四边形ABCD，使四边形ABCD的面积取得最大值，并求此时BD的长度．

9 . 已知：在矩形ABCD中，，．
（1）如图1，E、F、G、H分别是AD，AB，BC，CD的中点、求证：四边形EFGH是菱形；

（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD，AB，CD上，．
①连接BG，若，求AF的长；
②设，△GFB的面积为S，且S满足函数关系式．在自变量m的取值范围内，是否存在m，使菱形EPGH面积最大？若存在，请直接写出菱形EFGH面积最大值，若不存在，请说明理由．

10 . 在中，，D为内一点，连接，CD．
   
(1)如图1，若，求的度数；
(2)如图2，若，求证：；
(3)如图3，在（1）的条件下，延长交于点E，P为上一动点，连接，若，，求的最小值．