1 . 问题背景
在中，，点D为边上一动点，点E为边上一动点，沿直线把翻折，得到．
问题解决

(1)如图1，当与B重合时，求线段的长；
(2)如图2，当与边相交于点F，且时，连接，
①求五边形面积的最大值；
②连接，则的周长的最小值为        （直接写出答案）．

2 . （1）探索：如图①，四边形中，，过作于点，于点，求的面积．
（2）应用：如图②所示，点为线段外一动点，且，分别以为边，作等边三角形和等边三角形，点分别为的中点，求面积的最大值．

          

3 . （1）如图1，MN⊥PQ于N，△ABC是等腰直角三角形，，等腰直角△ABC的顶点C、B分别在射线MN，射线NQ上滑动（顶点C、B与点N不重合）在滑动过程中，点A到直线MN的距离AH       CN（填“＞”、“＜”或“＝”）．

（2）如图2，在（1）的条件下，等腰直角△ECF中，，且△ECF的顶点C、F也分别在射线NM、射线NP上滑动（顶点C、F与点N不重合），连接AE交MN于点D，试探究AD与ED的数量关系，并证明你的结论．

（3）如图2，，，在△ECF和△ABC保持原来滑动状态的过程中，△ACE的面积是否有最大值？若有，请求出△ACE的最大面积并求此时BF的长度；若△ACE的面积没有最大值，请说明理由．

4 . 【问题提出】
（1）如图，中，，，，于点D，则的长为_______．
（2）如图，中，，，，点D为边上一动点，连接，点B、点C到直线的距离之和是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【问题解决】
（3）如图，四边形，，，，，E为边上一点，，当的值最大时，求四边形的面积．

5 . 问题提出
(1)如图1，在长方形中，，，E为的中点，、交于点O，求的值．

问题解决
(2)为了更好的保护野生动物，如图2，陕西省国家地质公园景区将规划四边形区域作为野生动物保护区域，并在区域内修建两条人工通道和，其中E为的中点，已知平分，，，根据物种保护需求，当和区域面积差值最大时保护效果最佳，则为何值时，最大，并求出最大值．

6 . （1）如图1，点O是等边的内心，的两边分别交于点D、E，且，若等边的边长为6，求四边形周长的最小值．
（2）为培养学生劳动实践能力，某学校计划在校东南角开辟出一块平行四边形劳动实践基地．如图2所示，劳动实践基地为，点O为其对称中心，且，点E、F分别在边上，四边形为学校划分给九年级的实践活动区域，九年级学生打算在四边形区域种植两种不同的果蔬，即在种植不同的果蔬．在点O处安装喷灌装置，且喷灌张角为，即，并修建三条小路．现要求规划的三条小路总长最小的同时，果蔬种植区域四边形的面积最大．求满足规划要求的三条小路总长的最小值，并计算同时满足四边形面积最大时学校应开辟的劳动实践基地的面积．

   

7 . 在平面直角坐标系中，A为y轴正半轴上一点，B为x轴正半轴上一点，且，连接．

   

(1)如图1，C为线段上一点，连接，将绕点O逆时针旋转得到，连接，求的值．
(2)如图2，当点C在x轴上，点D位于第二象限时，，且，E为的中点，连接，试探究线段是否存在最小值？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由．

8 . 问题提出：
(1)如图，在矩形中，，，是对角线上的一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，过点作于，求的长．
问题解决：
(2)年月我省局部发生疫情，为落实科学防治、精准施策、分级管理，我省某小区设计防疫区域，在道路边固定柱子点，道路边确定一点，以为边，搭建正方形防疫区域，内部道路上设点作为记录处，、、、分别为不同的防疫物资放置区域，设计图简化如图所示，已知道路两边，道路宽为，为上一定点，为上一动点，于．请问是否存在符合设计要求且面积最小的？若存在，请求出面积最小值及此时的长；若不存在，请说明理由．

9 . 如图，正方形是边长为4米的一块板材．
操作一：现需从中裁出一个等腰直角模具，点P在边上，Q在正方形的内部或边上．
(1)如图，若，米，是否能裁出符合条件的？若能，确定Q的位置；若不能，请说明理由．
   
(2)如图，连接，在对角线上取点Q，连接，过点Q作交边于P，连接，得到．请证明符合裁剪要求．
   
操作二：经探究，操作一的模具大小至多为正方形面积的一半，现修改模具形状为四边形，并按面积要求进行裁剪．即在正方形中重新裁出的一个四边形模具，点P、Q分别在边上．
(3)如图，若需裁出的四边形面积为10平方米，请探究模具四边形周长的最小值．
   

10 . 在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y轴和x轴上，已知点A（0，4）．以AB为直角边在AB左侧作等腰直角△ABC，∠CAB＝90°．

(1)当点B在x轴正半轴上，且AB＝8时
①求AB解析式；
②求C点坐标；
(2)当点B在x轴上运动时，连接OC，求AC+OC的最小值及此时B点坐标．