1 . 如图1，边长为的正方形中，点P为上一个动点，连接，作于点，交边于点M，于．

(1)证明：；
(2)如图2，连接，线段交于点，点为的中点．

①当时，求的长；
②线段是否存在最小值和最大值，若存在，请直接写出线段的最小值和最大值，若不存在，请说明理由．

2 . 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点．若二次函数的图象经过点，．

(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数最大值与最小值的差；
(3)在二次函数图象上任取一点，其横坐标为．点在二次函数图象的对称轴上．若以点，，为顶点三角形是以为直角的等腰三角形．求点的坐标．

3 . 综合与实践：动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板，他们将一块直角三角板（，）的直角顶点放置在另一块直角三角板（，）斜边的中点处，并将三角板绕点任意旋转．
发现结论：
(1)如图，三角板的两边分别与另一块三角板的边交于点（规定：此时点均在边上运动），他们在旋转过程中，发现线段与的长总相等及四边形的面积不会发生变化．

问题解决：
①请你帮他们说明的理由；
②若，请你帮他们求出四边形的面积．
拓展延申：
(2)如图，连接，当，时，那么直角三角板在绕点旋转一周的过程中，请你直接写出线段长的最小值和最大值．

4 . 如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（       ）

   

A．4

B．6

C．

D．8

5 . 如图1，在正方形中，为对角线上一点（），点，关于直线对称，过点作的垂线，分别交，于点，．
   
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，连接并延长与的延长线交于点，连接．若已知，设，用含的代数式表示的面积，并求出面积的最大值．

6 . 根据以下素材，探索完成任务.

如何确定箭头形指示牌
素材1	某校计划在校园里立一块如图1所示的指示牌，图2为其平面设计图.该指示牌是轴对称图形，由长方形和三角形组成，且点B，F，E，C四点共线小聪测量了点A到的距离为米，米，米.
素材2	因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形与三角形（两种图形无缝隙拼接），且甲材料的单价为每平方米元，乙材料的单价为每平方米元.
问题解决
任务1	推理最大高度	小聪说：“如果我设计的方案中长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段长”，他的说法对吗？请判断并说明理由.
任务2	确定箭头形指示牌	小聪发现他设计的方案中，制作广告牌的总费用不超过元，请你确定长度的最大值.

7 . 已知，点E是正方形的边上一个动点，直线于点F，连结．

(1)如图1，点E运动到边的中点，求证：；
(2)如图2，的外接圆交于点G，连结，求证：；
(3)如图3，已知正方形的边长为2，设，用y表示与的面积之和，求y关于x的函数解析式及其最大值．

8 . 文成县一支参赛队准备请一个刺绣师为他们的队旗绣一个队微，队徽是以“文”字的拼音首字母“W”为主要造型．如图，长方形EFPQ的长EQ＝40cm，宽EF＝18cm，整个图形关于直线AG对称，且AB∥CD，AD∥BC，BM∥EC，CF＝12 cm，EM：BC＝2：3．为使图案美观，EM不能超过AM的．刺绣师准备在甲，乙，丙三个区域分别以不同的刺绣手法刺绣，其中甲区域是指“W”范围，乙区域是指“W”上方的两个三角形范围，丙是指整个长方形除去甲，乙的部分，设EM＝xcm．

(1)当x为何值时，丙区域的面积恰好为306平方厘米．
(2)求甲区域面积关于x的函数关系式，并求甲面积的最大值．
(3)若甲，乙，丙三个区域每平方厘米刺绣的针数分别为5n，5n，4n（n为正整数），甲乙的总针数之和比丙的总针数多15840针，则甲区域每平方厘米至少需要绣______针（直接写出答案）．

9 . 如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，直线，垂足为点为线段上一点（不与端点重合），过点作直线轴，交直线于点，交直线点．
   
(1)求线段的长；
(2)当时，求点的坐标；
(3)若直线过点，点为线段上一点，为直线上的点，已知，连结，，求线段的最小值．

10 . 如图，O是平面直角坐标系原点，，，，，P为线段上一个动点，连结并延长至点E，使得点E落在直线上，以，为邻边作，则对角线的最小值为_____．