1 . 如图1，边长为的正方形中，点P为上一个动点，连接，作于点，交边于点M，于．

(1)证明：；
(2)如图2，连接，线段交于点，点为的中点．

①当时，求的长；
②线段是否存在最小值和最大值，若存在，请直接写出线段的最小值和最大值，若不存在，请说明理由．

2 . 综合与实践：动手操作：某校八（1）班数学课外兴趣小组在学完第13章的特殊三角形后，利用手头上的一副三角板，他们将一块直角三角板（，）的直角顶点放置在另一块直角三角板（，）斜边的中点处，并将三角板绕点任意旋转．
发现结论：
(1)如图，三角板的两边分别与另一块三角板的边交于点（规定：此时点均在边上运动），他们在旋转过程中，发现线段与的长总相等及四边形的面积不会发生变化．

问题解决：
①请你帮他们说明的理由；
②若，请你帮他们求出四边形的面积．
拓展延申：
(2)如图，连接，当，时，那么直角三角板在绕点旋转一周的过程中，请你直接写出线段长的最小值和最大值．

3 . 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点．若二次函数的图象经过点，．

(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，求二次函数最大值与最小值的差；
(3)在二次函数图象上任取一点，其横坐标为．点在二次函数图象的对称轴上．若以点，，为顶点三角形是以为直角的等腰三角形．求点的坐标．

5 . 如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（       ）
   

A．4

B．6

C．

D．8

8 . 如图1，在正方形中，为对角线上一点（），点，关于直线对称，过点作的垂线，分别交，于点，．
   
(1)求证：；
(2)若，，求的长；
(3)如图2，连接并延长与的延长线交于点，连接．若已知，设，用含的代数式表示的面积，并求出面积的最大值．