1 . 初步探究
（1）如图1，在四边形中，相交于点O， ，且，则与的数量关系为           ．
迁移探究
（2）如图2，在四边形中，相交于点O，，（1）中与的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由．
拓展探究
（3）如图3，在四边形中， 相交于点O，，且 ，求的长．

2 . 如图，在中，，，，为的中点；与过点的直线交于，直线和的延长线交于点，，．
完成下面的填空：

过作交直线于点．
（1）是______三角形；
（2）______，______，则关于的表达式______（）．
完成下面的解答过程：
（3）列表：
根据（）中所求函数关系式计算并补全表格

	…								…
	…								…

描点：根据表中数值，继续描出①中剩余的三个点；
连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象；

（4）若直线绕点旋转与直线相交于点，当取什么值时，和相似？

3 . 综合与实践

初步感知
（1）如图1，，交于点E．与存在的数量关系为　　　；
知识应用
（2）如图2，已知在中，，为的角平分线，为的高线，，相交于点O．
①如图2，若，求证：；
②如图3，若，则与的数量关系为　　　　；
拓展提升
（3）如图4，在四边形中，，，E，F分别为，上的点，且，与相交于点G，连接．若，，，求的值．

4 . 图1是井冈山红旗雕塑的实物图，其正面可大致简化成图2，底座，，红旗边，，，，点，，在同一条直线上．

(1)连接，求证：．
(2)求雕塑顶端到地面的距离．
（参考数据：，，）

5 . 课本再现：
（1）在图1中，一块材料的形状是锐角三角形，边，高．把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，求这个正方形的边长．
变式探究：
（2）如图2，若一块三角形材料可以加工成3个相同大小的正方形零件，请你探究与的数量关系，并说明理由．
拓展延伸：
（3）如图3，若一块三角形材料可以加工成4个相同大小的正方形零件，且，请你探究的值．
（4）如图4，若一块三角形材料用同样的方式，可以加工成个相同大小的正方形零件，设每个正方形的边长为a，则          ．（用含a，n的代数式表示，直接写出结果）

6 . 如图：等腰直角放置在直角坐标系中，，，点A在x轴上，点B的坐标是，点C在第一象限内，作轴．

(1)求证：；
(2)若点C恰好在曲线上，求点C的坐标

7 . 综合与实践

李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“相似”主题下设计的问题，请你解答

【问题情境】

在中，是边上一点，，与交于点．

【初步探究】

（1）如图1，若，于点．

①求证．

②求的值．

【拓展延伸】

（2）如图2，是延长线上一点，若已知，求的长

8 . 课本再现：如图正方形对角线与相交于点O，E为上任意点（不与B，C重合），作交于点F．

(1)在图1中解答下列问题：
Ⅰ．求证：
Ⅱ．当正方形的面积为4时，小明发现以下结论：
①；②；③．其中正确的是___________（填序号）
(2)如图2，当点P为线段上任意点时（P不与O，C重合），E，F为分别为边上两点，且．问：之间有何数量关系，并说明理由．
(3)如图3，将图2中正方形改成矩形，且，其它条件不变，直接写出之间的数量关系．

9 . 【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）．

   

【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，.
①填空：______；
②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．

10 . 课本再现：
思考
我们知道，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形．如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形能成为平行四边形呢？

通过证明我们又得到了平行四边形的一个判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

   
(1)定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形，如图1，并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程．已知：在四边形中，，求证：四边形是平行四边形．
(2)定理应用：如图2，在矩形中，点E在边上，点F在边上，且，作，分别与对角线交于点G、H，连接，
①求证：四边形是平行四边形；
②连接，若，求四边形的周长．