1 . 如图，在中，，，把一块含角的三角板的直角顶点放在的中点上（两直角边，分别与，相交），则三角板与重叠部分的面积是______．

2 . 阅读下列材料，解答问题：
材料   从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个三角形都是等腰三角形，我们把这条线段叫做三角形的完美分割线．例如：线段把等腰分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线．
解答下列问题：

(1)如图1，已知中，，，为的完美分割线，且，则________°，________°；
(2)如图2，已知中，，，，求证：为的完美分割线；
(3)如图3，已知是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M，求证：．

3 . 在学习了平行四边形后，小天进行了拓展性研究，他发现，平行四边形一组对角顶点到另一组对角顶点所连线段的距离相等，他的解决思路是：通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下的作图与填空：
用直尺和圆规，过点作的垂线交于点．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形为平行四边形， 是对角线，于点，于点．
求证：．

证明：∵四边形是平行四边形，
∴①        ，，
∴②        ．
．
．
∴③        ．
．
．
小天再进一步研究发现，平行四边形一组对角顶点到经过平行四边形对角线交点的直线的距离均有此特征．请你依照题意完成下面命题：
平行四边形一组对角顶点到经过④         ．

4 . 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，将线段AB绕点A逆时针旋转得到线段．C在反比例函数图像上，求反比例函数的解析式．

5 . 如图，在中，，是的中点，作，垂足在线段上，连接、，下列结论：①平分；②；③．其中一定成立的是（　　）

A．①③

B．①②

C．②③

D．①②③

7 . 如图，在平行四边形中，点H是边上一点，连接．作的角平分线，交、及的延长线于G、E、F．

(1)如果，，那么______，______；
(2)若点G恰好是线段的中点，求证：．

8 . 在数学活动课上，小明提出这样一个问题：如图，，E是的中点，平分，则下列说法正确的有（       ）

   


①；②平分；③；④；⑤．

A．2个

B．3个

C．4个

D．5个

9 . 如图，在中，点，上，且，相交于点，求证：．

   

10 . 四边形为正方形，点为线段上一点，连接，过点作，交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．

(1)如图1，求证：矩形是正方形；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．