1 . 【问题探究】

（1）如图1，在四边形中，，点为上一点，连接，求证：；

（2）如图2，在四边形中，，点为上一点，连接，，试判断与之间的数量关系，并说明理由；

【问题解决】

（3）如图3，四边形是赵叔叔家的果园平面示意图，点为果园的一个出入口（点在边上），为果园内的两条运输通道（通道宽度忽略不计），经测量，，米，赵叔叔计划在区域内种植某种果树，并沿修建一条安全栅栏，为提前做好修建安全栅栏的预算，请你帮赵叔叔计算出的长度．

2 . 问题提出
（1）如图①，在四边形中，，点在线段上，连接，，，使得，若，则图中与相等的线段是______；
问题探究
（2）如图②，在中，点是上一点，，，，，求点到边的距离；
问题解决
（3）如图③，有一块矩形板材，，，李师傅因制作一模型需要一个形状特殊且面积为的四边形，已知点在边上，，现在还需要在边，上确定点，点，使得，且．李师傅通过测量采用了如下操作：分别在和上测量和的长度，确定为点，点，连接、和．请问，按照李师傅的作法，裁得的四边形是否符合要求？请证明你的结论．

3 . 问题提出
（1）如图①，垂直平分线段，交于点Q，连接，，，点M在线段上，连接，若，则______°；
问题探究
（2）如图②，在中，延长至E，使得，点D在上，连接，，求证：；
问题解决
（3）如图③，有一块足够大的四边形空地，．现要规划出一个三角形区域用来修建小型文化广场，其余地方铺上草坪，其中点F，G分别在，上，点E是的中点，，米，米，为方便市民出入广场，沿修建一条笔直的通道（宽度不计），请你求出通道的长度．

4 . 1805年，法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔激战．德军在莱茵河北岸点Q处，如图所示，因不知河宽，法军大炮很难瞄准敌营．聪明的拿破仑站在南岸的点O处，调整好自己的帽子，使视线恰好擦着帽舌边缘看到对面德国军营Q处，然后他保持原来的观察姿态，一步一步后退，一直退到点B处，发现自己的视线恰好落在他刚刚站立的点O处，让士兵丈量他所站立的位置B点与O点之间的距离，并下令按照这个距离炮轰德军．试问：法军能命中目标吗？请说明理由．（注：，点B、O、Q在一条直线上）

5 . 如图，在△ABC中，AB=AC，D是AC边的中点，过A作AE⊥BD于点E，AE的延长线交BC于点F．

(1)如图1，若AF=CF，求证：AC²=CF⋅BC；
(2)如图1，过点F作FG∥BD交AC于点G，若，求的值；
(3)如图2，若∠BAC=90°，求证：BF=2CF．

6 . （1）如图1，是正方形的对角线，是上一点，，，交于点，，交于点，猜想与的数量关系是__________；
（2）将图1中的按顺时针旋转一定角度到图2的位置，使交于点，交于点，猜想与的的数量关系，并证明；
（3）如图3，将图2的正方形换成菱形，，是上一点，，使交于点，交于点，且，求四边形的面积．

7 . 阅读下列材料，并解答其后的问题：
定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做等补四边形．
如图1，若AB＝AD，∠A+∠C＝180°，则四边形ABCD是等补四边形．

（1）理解：如图2，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°．请用尺规作图法作出点D，使得以A、B、C、D四点为顶点的四边形是等补四边形；（只需作出一个满足条件的点D即可．要求不用写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）探究：如图3，等补四边形ABCD中，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，BD是对角线．求证：BD平分∠ADC；
（3）运用：将斜边相等的两块三角板如图4放置，其中含45°角的三角板ABC的斜边与含30°角的三角板ADC的斜边重合，B、D位于AC的两侧，AB＝BC＝4，连接BD．则BD的长为　　．