1 . 如图，在中，，E是的中点．
   
(1)实践与操作：尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）．
①作的平分线；
②连接并延长，交于点F．
(2)猜想与证明：试猜想与有怎样的数量关系，并证明你的结论．

2 . 如图，四边形是平行四边形．

   
(1)尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）；
(2)若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形

3 . 如图，在ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于E，∠ABE＝45°．

(1)尺规作图，作∠BAC的平分线，交BE于H，交BC于D．（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求证：AH＝2BD．

4 . 证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．
(1)已知：如图，，点在上，______，求证：______．请你补全已知和求证．

(2)并写出证明过程．

5 . 数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题．
利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍．
（1）尺规作图：如图，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，则说明的依据是三角形全等的判定_________．

VSDX   

【模型构造】
（2）方法一：巧翻折，造全等
如图①，在中，，是的角平分线，则________．（填“、“或“）

     VSDX   

在上截取，连接，则．
方法二：构距离，造全等
如图②，在四边形中，，和的平分线，交于点．
若，则点到的距离是_________．
过点作，垂足为点．
则．
【模型应用】
（3）如图③，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．试猜想与之间的数量关系，并说明理由．

   

6 . 【母题再现】如图，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点，求证：．
【知识探究】证明：如图，取的中点，连接．
四边形是正方形，
，．

．

   

结合上面的知识探究，请同学们完成如下问题：
(1)请补全知识探究的证明过程．
(2)连接，若正方形边长为，求的面积．
(3)连接，求的值．

7 . 如图，四边形ABCD是平行四边形，AD＝AC，AD⊥AC，E是AB的中点，F是AC延长线上一点．

（1）若ED⊥EF，求证：ED＝EF；
（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）．

8 . 如图，已知△ABC，按如下步骤作图：
①分别以A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，Q两点；
②作直线PQ，分别交AB，AC于点E，D，连接CE；
③过C作CF∥AB交PQ于点F，连接AF．

(1)求证：△AED≌△CFD；
(2)求证：四边形AECF是菱形．

9 . 如图，中，厘米，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为1厘米/秒，点N的速度为2厘米/秒．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．设点M、N运动时间为t秒．
   
(1)当点M、N运动__________秒时，可得到等边三角形：
(2)当点M、N运动__________秒时，M、N两点重合；
(3)请在备用图里画出图形解答：当点M、N在边上运动时，是否存在以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时t的值．若不存在，请说明理由．

10 . 如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，可以在池塘外取AB的垂线BF上的两点C，D，使BC=CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得哪条线段的长就是A、B两点的距离，请说明理由．