1 . 如图，点
是线段
上一点，
与
都是等边三角形，连接
交于点
，过点作
，垂足为
， 连接
，以下结论中：①
；②
是等边三角形；③
；④
，正确的有______ ．（填入序号）
是线段上一点，与都是等边三角形，连接交于点，过点作，垂足为， 连接，以下结论中：①；②是等边三角形；③；④，正确的有
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2 . 如图所示，直线
交
轴于点
，交
轴于点
，且
，
满足
．
(1)
_________，
_________；
(2)如图1，若点
的坐标为
，且
于点
，
交
于点，试求点的坐标；
(3)如图2，若点
为的中点，点
为轴正半轴上一动点，连接
，过点作
交轴于点
，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子
的值是否发生改变？如发生改变求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．
交轴于点，交轴于点，且，满足． (1)
_________，_________；(2)如图1，若点
的坐标为，且于点，交于点，试求点的坐标；(3)如图2，若点
为的中点，点为轴正半轴上一动点，连接，过点作交轴于点，当点在轴正半轴上运动的过程中，式子的值是否发生改变？如发生改变求出该式子的值的变化范围；若不改变，求出该式子的值．
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2023-10-07更新
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346次组卷
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4卷引用：福建省福州立志中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题
福建省福州立志中学2021-2022学年七年级下学期期末数学试题福建省福州市平潭第一中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试题广东省江门市蓬江区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题（已下线）期末复习（压轴45题20个考点）-2023-2024学年八年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（苏科版）
3 . 如图，等腰
中，
，
于点，
的平分线分别交
于点
，
于点
，为
的中点，连接
并延长交
于点，连接
，下列结论：①
；②
；③
；④
和
的面积相等．其中正确的结论是______ ．
中，，于点，的平分线分别交于点，于点，为的中点，连接并延长交于点，连接，下列结论：①；②；③；④和的面积相等．其中正确的结论是
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2023-09-11更新
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248次组卷
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7卷引用：江西省宜春市丰城市第九中学2021-2022学年七年级下学期期末检测数学试题
4 . 如图，在中，
和的平分线，
相交于点O，交于E，交于F，过点O作
于D，在下列结论中：①
；②若
，
，则
；③当
时，
；④若
，
，则
．其中正确的结论为（ ）
中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，在下列结论中：①；②若，，则；③当时，；④若，，则．其中正确的结论为（ ）
| A．②③ | B．②④ | C．②③④ | D．①②④ |
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2023-09-03更新
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457次组卷
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3卷引用：辽宁省沈阳市虹桥中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题
辽宁省沈阳市虹桥中学2022-2023学年七年级下学期期中数学试题广东省江门市新会尚雅学校2023-2024学年八年级上学期期中数学试题B卷（已下线）压轴真题必刷01 三角形的证明（压轴40题7种题型训练）-2023-2024学年八年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版）
5 . 问题提出：（1）小李和小王在一次学习中遇到了以下问题，如图1，是的中线，若
，
，求和的取值范围．
他们利用所学知识很快计算出了的取值范围，请你也算一算的取值范围__________．
探究方法：但是他们怎么也算不出的取值范围，于是他们求助于学习小组的同，讨论后发现：延长至点E，使
，连接
．可证出
，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到
中，进而求出的取范围．
问题解决：（2）如图2，在中，点E在上，且
，过E作
，且
．求证：平分．
问题拓展：（3）思考：已知，如图3，是的中线，
，
，
，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
是的中线，若，，求和的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了
的取值范围，请你也算一算的取值范围__________． 探究方法：但是他们怎么也算不出
的取值范围，于是他们求助于学习小组的同，讨论后发现：延长至点E，使，连接．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取范围．问题解决：（2）如图2，在
中，点E在上，且，过E作，且．求证：平分．问题拓展：（3）思考：已知，如图3，
是的中线，，，，试探究线段与的数量和位置关系，并加以证明．
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2023-08-21更新
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219次组卷
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2卷引用：陕西省西安市新城区西安爱知中学2022-2023学年七年级下学期末数学试题
6 . 如图，在长方形
中，
，
，点E在的延长线上，
，
．动点P从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；同时动点Q从点E出发，沿EB以每秒
个单位长度的速度向终点B运动．过点P作
交AD于点R，连接
．设点P的运动时间为t秒．
(1)当点P与点Q重合时，求t的值；
(2)用含t的代数式表示线段
的长；
(3)当
的大小等于的一半时，求t的值；
(4)当的大小等于
的一半时，直接写出t的值．
中，，，点E在的延长线上，，．动点P从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点C运动；同时动点Q从点E出发，沿EB以每秒个单位长度的速度向终点B运动．过点P作交AD于点R，连接．设点P的运动时间为t秒． (1)当点P与点Q重合时，求t的值；
(2)用含t的代数式表示线段
的长；(3)当
的大小等于的一半时，求t的值；(4)当
的大小等于的一半时，直接写出t的值．
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7 . 如图，已知点B、C在
的两条边上，且
，
，
，
．P是边上的一个动点，过点P作
，
分别与、边相交于点D、E．在边上取点F，使
，连接、
．
(1)如图①，当点P与点C重合时，
______；
(2)如图②，当点F与点B重合时，若
，求
的面积；
(3)如图③，当点F在点B的右侧时，连接．若
，求的长．
的两条边上，且，，，．P是边上的一个动点，过点P作，分别与、边相交于点D、E．在边上取点F，使，连接、． (1)如图①，当点P与点C重合时，
______；(2)如图②，当点F与点B重合时，若
，求的面积；(3)如图③，当点F在点B的右侧时，连接
．若，求的长．
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8 . 如图①，在中，，
，直线
过点
，且
，点是直线上一点，不与点重合
(1)若点是图①中线段上一点，且
，请判断线段
与
的位置关系，并说明理由；
(2)如图②，在（1）的条件下，连接
，过点作
交线段于点，求证：
；
(3)如图③，在图①的基础上，改变点的位置后，连接，过点作交线段
的延长线于点，请判断线段
与
的数量关系，并说明理由
中，，，直线过点，且，点是直线上一点，不与点重合 (1)若点
是图①中线段上一点，且，请判断线段与的位置关系，并说明理由；(2)如图②，在（1）的条件下，连接
，过点作交线段于点，求证：；(3)如图③，在图①的基础上，改变点
的位置后，连接，过点作交线段的延长线于点，请判断线段与的数量关系，并说明理由
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名校
9 . 【基础巩固】
（1）如图1，在与
中，，
，
，求证：
；
【尝试应用】
（2）如图2，在与中，，，
，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点，
①求
的大小；
②
，求
的面积；
【拓展提高】
（3）如图3，与中，，
，
，与交于点F，
，
，
的面积为18，求
的长．
（1）如图1，在
与中，，，，求证：；【尝试应用】
（2）如图2，在
与中，，，，B、D、E三点在一条直线上，与交于点F，若点F为中点，①求
的大小；②
，求的面积；【拓展提高】
（3）如图3，
与中，，，，与交于点F，，，的面积为18，求的长．
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2023-08-01更新
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366次组卷
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3卷引用：浙江省宁波市镇海区镇海区仁爱中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试题
浙江省宁波市镇海区镇海区仁爱中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试题山东省济南育英中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（已下线）12.4(培优课)全等中的手拉手模型(题型精讲精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年八年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版）
名校
10 . 如图1，在中，过点作
于，过点作
于，交于
，
．
(1)求证：
：
(2)如图2，过点作射线
，在射线
上取一点，使
，连接，若平分，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接
，将
绕点以每秒
的速度逆时针旋转至
，旋转时间为
，当
与重合时停止，则在旋转过程中，当的边
与
的某一边平行时，直接写出此时的值．
中，过点作于，过点作于，交于，． (1)求证：
：(2)如图2，过点
作射线，在射线上取一点，使，连接，若平分，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，连接
，将绕点以每秒的速度逆时针旋转至，旋转时间为，当与重合时停止，则在旋转过程中，当的边与的某一边平行时，直接写出此时的值．
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