1 . 阅读下列材料，解答问题：
材料   从等腰三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个三角形都是等腰三角形，我们把这条线段叫做三角形的完美分割线．例如：线段把等腰分成与（如图1），如果与均为等腰三角形，那么线段叫做的完美分割线．
解答下列问题：

(1)如图1，已知中，，，为的完美分割线，且，则________°，________°；
(2)如图2，已知中，，，，求证：为的完美分割线；
(3)如图3，已知是一等腰三角形纸片，，是它的一条完美分割线，且，将沿直线折叠后，点C落在点处，交于点M，求证：．

2 . 如图，等边三角形的顶点分别在等边三角形的各边上，且与E，若，则的长为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 如图，中，，是的中点，，，垂足分别为E，F ，连接．

(1)求证：为等腰三角形；
(2)填空:①当的度数为       时，为等边三角形；
②当的度数为       时，为直角三角形．

4 . 在四边形ABCD中，，，于点E，于点F．求证：
   
(1)；
(2)．

5 . 如图，点E在正方形的对角线上，且，直角三角形的两直角边、分别交、于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分四边形的面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

7 . 如图，是等腰底边上的高，点是中点，延长到，使，连接．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)①若，，则四边形的面积＝　 　．
②若，则　 　时，四边形是正方形．

8 . 在平面直角坐标系中，将点绕原点O逆时针旋转90°，得到点，则点的坐标是（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接，，若，求证：四边形是矩形．

10 . 学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称“HL”定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．

(1)如图1，在和中，，AC和DB交于点E，则线段AE和线段DE的数量关系是_________；
(2)如图2，在中，，点D、E分别在边AC、AB上，且．求证：；
(3)如图3，在中，为钝角，，点D、E分别在边AC、AB上，且，则线段AE与线段AD相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由．