1 . 已知，在等腰直角三角形中，，，，点D是线段上一点，点D不与点B，点C重合，连接，以为一边作，，，且点E与点D在直线两侧，与交于点H，连接．

(1)如图1，求证：．
(2)如图2，在的延长线上取一点F，当时，求证：．
(3)过点A作直线的垂线，垂足为G，当时，直接写出与的面积比．

2 . 学习完三角形的知识后，轩轩想出了“作三角形一边中线”的一种尺规作图的作法，下面是具体过程．
已知：．
求作：边上的中线．
作法：
①分别以点B为圆心，长为半径；点C为圆心，长为半径在的下方作弧，两弧相交于P点．
②作射线，与交于D点，所以线段就是所求作的中线．
根据小明设计的尺规作图过程，完成下面问题．
(1)尺规作图，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)求证：是的中线．

3 . 如图，在四边形中，，，连接，点E、F在线段上，且有，猜想线段、有何位置关系？并说明理由．

4 . 某建筑测量队为了测量一栋垂直于地面的居民楼的高度，在大树与居民楼之间的地面上选了一点C，使B，C，D在一条直线上，测得垂直于地面的大树顶端A的视线与居民楼顶墙E的视线的夹角，若米，米，请计算出该居民楼的高度．

   

5 . 如图，的对角线，相交于点，过点且与，分别相交于点，．连接，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，周长是18，则的周长是多少．

6 . 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样，一个问题：
如图1：在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围．
【问题初探】：
第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长至E．使得，连接．利用三角形全等将线段转移到线段，这样就把线段，，集中到中．利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围，
第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作的平行线交的延长线于点F，利用三角形全等将线段转移到，同样就把线段，，集中到中，利用三角形三边的关系即可得到中线的取值范围．

（1）请你选择一个小组的解题思路．写出证明过程
【方法感悟】
当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题
【类比分析】
（2）如图4：在中，，，是的中线，，且．求的长度．
【思维拓展】
（3）如图5：在中，于点F在右侧作，且，在的左侧作，且，连接，延长交于点O，证明O为中点．

7 . （1）如图1，已知正方形纸片，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B 落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，延长交于点F，连接，求的度数；
（2）如图2，将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N．当点N恰好落在折痕上，则
①          ；
②若 线段          ；
（3）如图3，在矩形中，，点E、F 分别在边上，将矩形沿 折叠，点B落在M处，点D 落在G处，点A、M、G恰好在同一直线上，若 ，求的长．

   

8 . 如图所示，矩形的对角线和相交于点，过点的直线分别交和于点、，，，则图中阴影部分的面积为 _____．

9 . 如图，在菱形中，M，N分别在，且，与
交于点O，，则∠OBC的度数为（　　）

A．

B．

C．

D．

10 . 在中，，是的角平分线，于点E．

(1)如图1，连接，求证：是等边三角形；
(2)点M是线段上的一点（不与点C，D重合），以为一边，在的下方作，交延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，其中与之间的数量关系 ______．
(3)如图3，点N是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点G．试探究与数量之间的关系，并说明理由．