名校
1 . 综合与实践
如图1是实验室中的一种机械装置，
在地面上，所在等腰直角三角形
是固定支架，机械臂
可以绕点A旋转，同时机械臂
可以绕点D旋转，已知
，
，
．顺时针旋转
，点D旋转到点E处，连结
，当
，
①连接
，探究
与的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当
时，求的长
(2)如图3，机械臂A、D、M三点共线，
，此时机械臂
顺时针旋转
，机械臂一端恰好落在边上，标记为点N，求支架
的长．
如图1是实验室中的一种机械装置，
在地面上，所在等腰直角三角形是固定支架，机械臂可以绕点A旋转，同时机械臂可以绕点D旋转，已知，，．
顺时针旋转，点D旋转到点E处，连结，当，①连接
，探究与的数量关系和位置关系，并说明理由；②当
时，求的长(2)如图3，机械臂A、D、M三点共线，
，此时机械臂顺时针旋转，机械臂一端恰好落在边上，标记为点N，求支架的长．
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2 . 在平面直角坐标系
中，对于正方形
和它边上的动点P，以
为斜边作等腰
且O，P，Q三点按顺时针排列，则称点Q是点P关于正方形的“相关点”．已知
，
，
，
，这里
．
，当点P在正方形的边上运动时，设点P关于正方形的“相关点”为点Q．
①若点Q恰好也在正方形的边上，这样的点P的个数是_________；
A．0个；B．1个；C．2个；D．4个
②设点P的横坐标为p，求点Q的坐标；
(2)当
时，对于正方形和它边上的动点P，则所有点P关于正方形的“相关点”组成图形的面积为_________；
(3)如图2，
，
，当点P在正方形的四条边上运动时，若线段
上有且只有一个P关于正方形的“相关点”，直接写出a的取值范围．
中，对于正方形和它边上的动点P，以为斜边作等腰且O，P，Q三点按顺时针排列，则称点Q是点P关于正方形的“相关点”．已知，，，，这里．
，当点P在正方形的边上运动时，设点P关于正方形的“相关点”为点Q．①若点Q恰好也在正方形
的边上，这样的点P的个数是_________；A．0个；B．1个；C．2个；D．4个
②设点P的横坐标为p，求点Q的坐标；
(2)当
时，对于正方形和它边上的动点P，则所有点P关于正方形的“相关点”组成图形的面积为_________；(3)如图2，
，，当点P在正方形的四条边上运动时，若线段上有且只有一个P关于正方形的“相关点”，直接写出a的取值范围．
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3 . 如图①，正方形中，点O是对角线
的中点，点P是线段上（不与A，O，C重合）的一个动点，过点P作
且
交边（或
延长线）于点E．
时，直接写出
与的数量关系__________；
②如图2，当P在
时，请按题意补全图形，判断与的数量关系并说明理由；
(2)如图3，当P在时，若正方形的边长为2，过E作
于点F，在P点运动的过程中，
的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；
(3)用等式直接表示线段
之间的数量关系．
中，点O是对角线的中点，点P是线段上（不与A，O，C重合）的一个动点，过点P作且交边（或延长线）于点E．
时，直接写出与的数量关系__________；②如图2，当P在
时，请按题意补全图形，判断与的数量关系并说明理由；(2)如图3，当P在
时，若正方形的边长为2，过E作于点F，在P点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，试求出这个不变的值；若变化，请说明理由；(3)用等式直接表示线段
之间的数量关系．
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4 . 如图，在
中，
，为上的中线，E是的中点，
平分
于点F，若
，求的长度．
中，，为上的中线，E是的中点，平分于点F，若，求的长度．
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5 . 如图，将
沿对角线翻折，点B落在点E处，
交于点F，若
，
，则的周长为（ ）
沿对角线翻折，点B落在点E处，交于点F，若，，则的周长为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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6 . 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接
．
；
(2)若
，试判断四边形
的形状，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，若
，
，求四边形的面积．
中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．
；(2)若
，试判断四边形的形状，并证明你的结论；(3)在（2）的条件下，若
，，求四边形的面积．
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7 . 如图，在
中，
且
，
于点
．
交的延长线于点
．
；
(2)连接，交于
，若，
，求
的面积．
中，且，于点．交的延长线于点．
；(2)连接
，交于，若，，求的面积．
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8 . 如图，已知正方形的对角线长为8，在正方形内作
，
交于点E，
交于点F，连接，过点A作
，将
绕点A顺时针旋转得到
，则
的长为______ ．
内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，将绕点A顺时针旋转得到，则的长为
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9 . 如图，正方形边长为
，点
，
分别是边，上的动点且
，作
于点
，则
的最小值是_____ ．
边长为，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是
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10 . 在查阅勾股定理证明方法的过程中，小明看到一种利用“等积变形一同底等高的两个平行四边形的面积相等”证明勾股定理的方法，并尝试按自己的理解将这种方法介绍给同学．
①如图1，在中，
，四边形
，四边形
，四边形
都是正方形．延长
交于点M，过点C作
交的延长线于点N，可得四边形
的形状是_________；
②在图1中利用“等积变形”可得
_________；
③如图2，将图1中的四边形沿直线
向下平移
的长度，得到四边形
，即四边形
；
④设
交于点T，延长交
于点H，在图2中再次利用“等积变形”可得
_________，则有_________．
⑤同理可证
，因此得到
，进而证明了勾股定理．
(2)小芳阅读完小明的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小明对小芳的说明补充完整：图1中
_________
_________，则有_________
，由于平行四边形的对边相等，从而四边形沿直线向下平移的长度，得到四边形．
①如图1，在
中，，四边形，四边形，四边形都是正方形．延长交于点M，过点C作交的延长线于点N，可得四边形的形状是_________；②在图1中利用“等积变形”可得
_________；③如图2，将图1中的四边形
沿直线向下平移的长度，得到四边形，即四边形；④设
交于点T，延长交于点H，在图2中再次利用“等积变形”可得_________，则有_________．⑤同理可证
，因此得到，进而证明了勾股定理．(2)小芳阅读完小明的证明思路后，对其中的第③步提出了疑问，请将以下小明对小芳的说明补充完整：图1中
__________________，则有_________，由于平行四边形的对边相等，从而四边形沿直线向下平移的长度，得到四边形．
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