1 . 如图，在中，，是的中点，过点作的平行线交于点，作的垂线交于点，若，且的面积为，则的长为（       ）.

A．

B．

C．

D．

2 . 【初步探究】
（1）把矩形纸片如图①折叠，当点B的对应点在的中点时，填空：       （“”或“”）．
【类比探究】
（2）如图②，当点B的对应点为上的任意一点时，请判断（1）中结论是否成立？如果成立，请写出证明过程；如果不成立，请说明理由．
【问题解决】
（3）在矩形中，，点E为中点，点P为线段上一个动点，连接，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为      ．

3 . 如图，，点D在边上，和相交于点O．
   
(1)求证：；
(2)若，求的度数．

4 . 如图，点是上一点，交于点，，求证：．
   

5 . 如图，在中，点是的中点，点是线段延长线上一动点，连接，过点作的平行线，与线段的延长线交于点，连接、．

(1)求证：四边形是平行四边形．
(2)若，，则在点的运动过程中：
①当　　时，四边形是矩形；
②当　　时，四边形是菱形．

6 . 综合与实践
【经典再现】人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点E是边的中点，且交正方形外角的平分线于点F．求证．（提示：取的中点H，连接．）
   
(1)请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是为了构造出 　　≌　　，进而得到．
(2)【类比探究】
如图2，四边形是矩形，且，点E是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点F，求的值（用含n的式子表示）；
(3)【综合应用】如图3，P为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长．

7 . 综合与实践

   

(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角：______．
(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．
①______度；
②若，求线段的长．
(3)【迁移应用】如图3，在矩形，点E，F分别在边上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请直接写出线段的长．

8 . 如图，在菱形中，M，N分别在上，且，与交于点O，连接．若，则的度数为（　　）

   

A．

B．

C．

D．

9 . 已知长方形对边平行且相等，四个角都是直角中，，，点在边上，且不与点、重合，直线与的延长线交于点．

   

(1)如图，当点是的中点时，求证：；
(2)如图，将沿直线折叠得到，点落在长方形的内部，延长交直线于点．
①证明，并求出在条件下的值；
②连接，求周长的最小值．

10 . 【问题背景】在综合与实践课上，老师带领同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展探究活动．正方形中，点P是边上一点（不与点D，C重合），连接．
【操作发现】
   
(1)如图①，将沿折叠，得到，连接并延长交于点F，则线段，的数量关系是______．
(2)如图②，将正方形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕分别与，交于点M，N，请你判断线段，的数量关系，并说明理由．
(3)【实践探究】如图③，连接交于点G，与相交于点H．求证：．
(4)在图③中，若点P是的中点，，请直接写出的长．