1 . 如图，点O是正方形的两条对角线的交点，过点O的直线与、交于点M、点N，，交于点E，若，，则的长为_______．

2 . 如图1，中，，，，点D为斜边上动点．
（1）如图2，过点D作交CB于点E，连接AE，当AE平分时，求CE；
（2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若为等腰三角形，直接写出AD的值．

3 . 如图，矩形纸片ABCD中，．把矩形纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点F，若，则AD的长为______________cm．

4 . 如图，点，在线段上，，，，求证：．

5 . 如图，在中，，以为边在外作等边，过点作，垂足为，若，，则的长为______．

7 . 为测量一池塘两端A，B间的距离，小红和小颖两位同学分别设计了两种不同的方案，如图．
方案一：如图①，先过点B作AB的垂线BF，再在射线BF上取C，D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于点E，则测出DE的长即为A，B间的距离．
方案二：如图②，过点B作BD⊥AB，再由点D观测，在AB的延长线上取一点C，使∠BDC=∠BDA，这时只要测出BC的长即为A，B间的距离．
（1）以上两位同学所设计的方案，可行的是          ．
（2）请你选择一个可行的方案，说说它可行的理由．

8 . 如图，ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于E，连接AE、CD．
（1）求证：AD=CE；
（2）试判断四边形ADCE的形状，并说明理由．

9 . 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：
（1）【模型呈现】
如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝　 　，BC＝　 　．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
（2）【模型应用】
①如图2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AH于点H，DE与直线AH交于点G．求证：点G是DE的中点；
②如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A为平面内任一点，点B的坐标为（4，1）．若△AOB是以OB为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点A的坐标为 　 　．

10 . 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F，连接AF．
（1）求证：BE＝DF；
（2）若EF⊥AC，ADF的周长是13，则平行四边形ABCD的周长为         ．