1 . 【问题背景】如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的，九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点O，点P落在线段上，（k为常数）．

   

【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点P与点O重合，两直角边分别与边，相交于点M，N．
①填空：______；
②求证：．
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含k的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点N在边上，，延长交边于点E，若，求k的值．

2 . 如图，在平行四边形中，点E是的角平分线与的交点，小谷想在平行四边形里面再剪出一个以为边的平行四边形，小谷的思路是：作的角平分线，将其转化为证明三角形全等，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形使问题得到解决，请根据小谷的思路完成下面的作图与填空：

(1)用尺规完成以下基本作图：作的角平分线与交于点F，连接，．（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
(2)根据（1）中作图，求证：四边形为平行四边形．
证明：∵四边形为平行四边形，
∴，①_______________．
∴②_______________．
∵分别平分．
∴，．
∴③_________________
∵在与中，
∵，
∴．
∴，④_________________．
∴，即，
∴⑤________________．
∴四边形为平行四边形．

3 . 如图，四边形是平行四边形，于E．

（1）尺规作图：过点C作于点F，连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：．将下面的过程补充完整．
证明：∵，，
∴①____________，；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴②____________，，
∴③____________．
在和中，
，
∴，
∴④____________，
又∵，
∴四边形是⑤____________；（⑥____________）（填推理的依据）
∴．

4 . 【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第77页的部分内容．

平行四边形的性质定理3平行四边形的对角线互相平分．我们可以用演绎推理证明这个结论． 已知：如图1，的对角线和相交于点． 求证：，．

（1）请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程．
（2）【性质应用】如图2，在中，对角线相交于点O，过点O且与边分别相交于点E，F．求证：．

（3）【拓展提升】在【性质应用】的条件下，连接．若，的周长是9，则的周长是______．

5 . 已知正方形中，E，F为平面内两点．
【探究建模】
（1）如图1，当E在边上时，，且B，C，F三点共线，求证：；
【探究建模】
（2）如图2，当E在正方形外部时，，且E，C，F三点共线，猜想并证明线段之间的数量关系；
【探究建模】
（3）如图3，当E在正方形外部时，且，且D，F，E三点共线，与相交于G点．若，则      ．（直接写出答案）

6 . （1）如图，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点、证明：．

（2）如图，过的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，求证：是的中点．

8 . 数学课上，大家一起探究三角形中位线定理的证明方法．
已知：D，E分别是的边，的中点，求证：，且．
嘉嘉和淇淇各自尝试作了一种辅助线，如图1，2．其中辅助线作法能够用来证明三角形中位线定理的是（       ）

嘉嘉的辅助线作法：延长到点F，使，连接，，．

淇淇的辅助线作法：过点E作，过点A作，与交于点F．

A．嘉嘉的辅助线作法不可以，淇淇的可以	B．嘉嘉的辅助线作法可以，淇淇的不可以
C．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都不可以	D．嘉嘉和淇淇的辅助线作法都可以

9 . 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．

(1)求证：；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论；
(3)在（2）的条件下，若，，求四边形的面积．

10 . 如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点A作的平行线交的延长线于点F，连接．

(1)求证：；
(2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论．