名校
1 . 已知线段
，试用尺规作图画出线段的黄金分割点C，使得
，保留作图痕迹，不写作法．
，试用尺规作图画出线段的黄金分割点C，使得，保留作图痕迹，不写作法．
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2 . 已知，如图，
．
(1)用尺规完成以下基本作图，作线段
的垂直平分线，交于
，交
于
，连接
（不说明理由，不下结论，只保留作图痕迹）．
(2)在（1）所作的图形中，求证：
．
涵涵的思路是这样：由垂直平分线的性质得到
，从而得到
，再证明
，从而得到
，最后由等量代换可得
．请根据这个思路补全下面的证明过程．
证明：
直线
是线段的垂直平分线
①_______，
②_______，
，
，
③_______
，
，
④_______，
，
⑤_______，
．
．(1)用尺规完成以下基本作图，作线段
的垂直平分线，交于，交于，连接（不说明理由，不下结论，只保留作图痕迹）．(2)在（1）所作的图形中，求证：
．涵涵的思路是这样：由垂直平分线的性质得到
，从而得到，再证明，从而得到，最后由等量代换可得．请根据这个思路补全下面的证明过程．证明：
直线是线段的垂直平分线①_______，②_______，，，③_______，，④_______，，⑤_______，．
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3 . LED感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新智能照明产品，当人进入感应范围内灯自动亮，离开感应范围灯灭．若在感应范围内有多个感应灯装置，那么人离哪个感应灯更近，这个感应灯就会亮，其它感应灯就不亮，这样既方便又节能．（说明：人到两个感应灯距离相等时，两个灯都亮）
中，
，若在的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，
垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积；
(2)如图②，在中，
，
为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积；
(3)如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯上亮的区域图形．
中，，若在的其中两个顶点B、C处分别装有感应灯，垂直平分，垂足为点F，交于点E，请求出在该三角形内能使感应灯C亮的区域面积；(2)如图②，在
中，，为边上的高，在的三个顶点处都装有感应灯，请求出在该三角形内能使感应灯B亮的区域面积；(3)如图③，在平面内五个散点A、B、C、D、E处装有自控灯，请用直尺和圆规在平面内作出能使感应灯上亮的区域图形．
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2024-03-15更新
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91次组卷
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3卷引用：2023年江苏省盐城市康居路初级中学中考数学一模试题
4 . 在学习《锐角三角函数》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，进行了一些研究．
(1)初步尝试：我们知道：
，
， 发现结论：
（填“＝”或“
”）；
(2)实践探究：如图1，在
中，
，
，
，求
的值；小明想构造包含
的直角三角形：延长
至D，使得
，连接
，所以得到
，即转化为求
的正切值．
请按小明的思路进行余下的求解，解出的正切值．（有必要解题过程）
(3)拓展延伸：如图2，在中，，
，
．求出
的值．
(1)初步尝试：我们知道：
， ， 发现结论： （填“＝”或“”）；(2)实践探究：如图1，在
中，，，，求的值；小明想构造包含的直角三角形：延长至D，使得，连接，所以得到，即转化为求的正切值．请按小明的思路进行余下的求解，解出
的正切值．（有必要解题过程）(3)拓展延伸：如图2，在
中，，，．求出的值．
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5 . 折纸是同学们喜欢的手工活动之一．
按照下面过程折一折，并探究其蕴含的数学知识：
如图①：把边长为4的正方形纸片
对折，使边与
重合，展开后得到折痕；
如图②：点
为
上一点，将正方形纸片沿直线
折叠，使点
落在折痕上的点
处，展开后连接
，
，
．
试探究：
(1)判断
的形状，并给出证明；
(2)说明线段
与
的数量关系．
按照下面过程折一折，并探究其蕴含的数学知识：
如图①：把边长为4的正方形纸片
对折，使边与重合，展开后得到折痕；如图②：点
为上一点，将正方形纸片沿直线折叠，使点落在折痕上的点处，展开后连接，，．试探究：
(1)判断
的形状，并给出证明；(2)说明线段
与的数量关系．
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6 . 如图，已知：在中，
，
，垂直平分线交于
，交于．求证：
．
中，，，垂直平分线交于，交于．求证：．
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名校
7 . 如图，在
的正方形方格中，每个小正方形的边长为1，顶点都在网格线交点处的三角形叫作格点三角形，如图建立平面直角坐标系，已知三个顶点的坐标分别是
(1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
(2)在图中，以点O为位似中心画
，使它与的位似比为
；
(3)若有一个格点三角形与相似，且它与有一条公共边和一个公共角
，请直接写出满足上述条件的三角形未知顶点的坐标 ．
的正方形方格中，每个小正方形的边长为1，顶点都在网格线交点处的三角形叫作格点三角形，如图建立平面直角坐标系，已知三个顶点的坐标分别是(1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心M的坐标为 ；
(2)在图中，以点O为位似中心画
，使它与的位似比为；(3)若有一个格点三角形与
相似，且它与有一条公共边和一个公共角，请直接写出满足上述条件的三角形未知顶点的坐标 ．
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8 . 已知点A和点B，请借助直尺和圆规作出以下图形（需保留作图痕迹）．
(1)作线段的垂直平分线l；
(2)在线段的下方直线l上作出点C，连接
使是等边三角形．
(1)作线段
的垂直平分线l；(2)在线段
的下方直线l上作出点C，连接使是等边三角形．
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9 . 如图，在正方形网格中，三个顶点在格点上，每个小方格的边长为1个单位长度．
(1)请在正方形网格中画出关于直线 l对称的；
(2)连接
，
，求四边形
的面积；
(3)请在直线l找一点 P， 使得
．
三个顶点在格点上，每个小方格的边长为1个单位长度． (1)请在正方形网格中画出
关于直线 l对称的；(2)连接
，，求四边形的面积；(3)请在直线l找一点 P， 使得
．
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10 . 如图，在中，
．
(1)通过观察尺规作图痕迹，可以发现直线是线段的______；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出
的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；
(3)若（2）中所作的角平分线与边交于点
，求
的大小．
中，．(1)通过观察尺规作图痕迹，可以发现直线
是线段的______；(2)请用无刻度的直尺和圆规作出
的平分线（保留作图痕迹，不写作法）；(3)若（2）中所作的角平分线与边
交于点，求的大小．
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