1 . 如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．

(1)当秒时，求的长．
(2)求出发时间为几秒时，是等腰三角形．
(3)若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边上运动时，若是以为腰的等腰三角形，求点Q的运动时间．

2 . 如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，．

(1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由；
(2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由；
(3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为           ．

3 . 已知：中，，点为上一点，连接并延长至点，连接、，使．

(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当时，（1）中结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请直接写出结论：____________________；
(3)如图3，在（2）的条件下，在上截取，连接，点在上，连接，且，，，求的长．

4 . 【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若， ，求边上的中线的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考：

   

（1）由已知和作图能得到，依据是___________．
A．SSS       B．ASA       C．AAS       D．SAS
（2）由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________．
解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【初步运用】
（3）如图2，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长．
【灵活运用】
（4）如图3，在中，，D为中点，，交于点E，交于点F，连接，试猜想线段，，三者之间的等量关系，并证明你的结论．

5 . 【模型建立】
如图1，等腰直角三角形中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“K形图”．接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：

   

【模型运用】
（1）如图1，若，则的面积为        ；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，等腰，点C的坐标为，A点的坐标为，求与y轴交点D的坐标；
（3）如图3，在平面直角坐标系中，直线函数关系式为：，点，在直线上是否存在点B，使直线与直线的夹角为45°？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

   

【模型拓展】
（4）如图4，在平面直角坐标系中，已知点，P是直线上一点，将线段延长至点Q，使，将线段绕点B顺时针旋转45°后得，直接写出的最小值．

   

7 . 已知，四边形是正方形，绕点D旋转（），，，连接．

(1)如图1，求证：；
(2)直线与相交于点G．
①如图2，于点M，于点N，求证：四边形是正方形；
②如图3，连接，若，，直接写出在旋转的过程中，线段长度的最小值为      ．

8 . 在中，，，点为边上一动点，连接，将绕着点逆时针方向旋转得到，连接．

(1)如图1，，点为中点，与交于点，若，求的长度；
(2)如图2，与交于点，连接，在延长线上有一点，，求证：；
(3)如图3，与交于点，且平分，点为线段上一点，点为线段上一点，连接，，点为延长线上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，在，运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值．

9 . 如图所示，草坪边上有两条互相垂直的小路m，n，垂足为E，草坪内有一个圆形花坛，花坛边缘有A，B，C三棵小树．在不踩踏草坪的前提下测圆形花坛的半径，某同学设计如下方案：若在小路上P，Q，K三点观测，发现均有两树与观测点在同一直线上，从E点沿着小路n往右走，测得，米，米；从E点沿着小路m往上走，测得米，，则点C到小路n的距离为______米，该圆的半径长为_____米．

10 . 如图，在正方形中，，点和分别为上的动点，且，以为底边在石侧构造等腰且满足，连接，则的最小值为 _____．