1 . 在学习了平行四边形这章书后，小宁同学对几何图形的相关知识产生了浓厚的兴趣，于是他从课本出发开展了如下探究：
【课本再现】我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？小宁对此展开了探究．
如图①，在四边形中，已知，，求证：四边形是平行四边形．
小宁的思路如下：连接，通过证明，得到，最后可证得四边形是平行四边形．请你根据小宁的思路将证明过程补充完整；
【变式探究】如图②，在平行四边形中，，对角线，求证：四边形是正方形；
【拓展应用】在图②的条件下，点是对角线上一点，连接，过点作交于点，连接交于点，，，求的长．

                                                                           

2 . 定义：在等腰三角形的外部，以一条腰为斜边作直角三角形，那么等腰三角形和直角三角形组成一个四边形，我们就称这个四边形是“等对邻直角四边形”．
概念理解
如图，在四边形中，若，，则四边形______“等对邻直角四边形”；
A．是       B．不是
问题探究
(1)如图，在“等对邻直角四边形”中，，，是的中点，是的中点．则与的数量关系是______；
(2)如图，在（）的条件下，平分，，问四边形为何种特殊四边形，并说明理由；
拓展探究：
(3)在中，，是的中点，是的中点．，，以为直角边作等腰直角，且，求以为顶点的四边形的面积．
   

3 . 综合实践课上，老师让同学们进行了的折纸游戏，E是边上的一动点，F是边上的一动点，将沿直线折叠，使点C落在边上的点处，点D的对应点为点，连接．

(1)观察发现
如图1，若，，__________，_________．
(2)操作探究
如图2，当点落在BA的延长线上时，求证：四边形为平行四边形．
(3)拓展探究
如图3，若，，，E是边上的一动点，F是边上的一动点，在折叠过程中，要使点始终落在边上（含A，B点），请直接写出的取值范围．

4 . 综合与实践：

【问题情境】
数学活动课上，同学们发现以下结论：如图，已知等腰和等腰，其中，射线与相交于点，那么和数量关系是________，和位置关系是________；
【思考尝试】
如图，已知四边形和四边形都是正方形，是等腰直角三角形，，连接．同学们发现若能证明四边形为平行四边形，即可找出与的数量关系．请你根据以上思路，直接写出与的数量关系________；
【实践探究】
如图，四边形和四边形都是矩形，若，连接．求出与的数量关系；
【拓展迁移】
如图，在【实践探究】的基础上，若，，如果所在直线相交于点，请直接写出矩形绕点旋转一周过程中长度的最小值________．

8 . 小红根据学习平行四边形的经验，对平行四边形进行了拓展探究．

【问题探究】
如图1，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)在网格中找一点D，画线段且使，连接；
(2)在括号内填写根据：
∵且CD＝BA，
∴四边形是平行四边形（____________）
【拓展延伸】
(3)如图2，在四边形中，，厘米，厘米，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度由点A向点D运动，点Q以1厘米/秒的速度由点C向点B运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．请问：经过几秒，直线将四边形截出一个平行四边形？

10 . 综合与实践
综合与实践课上，同学们以“四边形的折叠”为主题开展数学活动．
   
操作判断
(1)操作一：如图1，将正方形纸片沿对角线折叠，然后将纸片展开；
操作二：依次将边，折到对角线AC上，折痕分别为，，使点，分别落在对角线上的点，处，将纸片展开，连接，．
根据以上操作，易得出结论：四边形的形状是______．
迁移探究
(2)如图2，将正方形纸片换成矩形纸片，按照（1）中的方式操作，继续探究．
①小明认为此时四边形的形状仍然符合（1）中的结论，你认为小明的说法正确吗？请说明理由；
②小亮认为可以通过改变矩形与的比值，让四边形成为菱形，你认为小亮说法正确吗？请简述理由．
拓展应用
(3)在（2）的条件下，若，当，分别是线段的三等分点时，请直接写出四边形的面积．