1 . 如图1，在等腰三角形中，，，点分别在边上，，连接，点分别为的中点．

   

(1)观察猜想：
图中，线段与的数量关系是_______，的大小是_______；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图的位置，连接，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．

3 . （1）【问题探究】如图1，已知是的中线，延长至点E，使，连结，可得四边形，求证：四边形是平行四边形．请你完善以下证明过程：
∵是的中线，
∴_______ ______．
，
∴四边形是平行四边形．
（2）【拓展提升】如图2，在的中线上任取一点M（不与点A重合），过点M、点C分别作，，连结．
求证：四边形是平行四边形．
（3）【灵活应用】如图3，在中，，，，点D是的中点，点M是直线上的动点，且，，当取最小值时，求线段的长．
         

4 . （1）[操作与思考]如图1，在中，，，，以为边在外作等边三角形，连接，请你以为边在外作等边三角形，再连接，直接写出的长        ．

（2）[迁移与应用]如图2，在中，，，，以为斜边作直角三角形，其中，，若为中点，连接．求的长；

（3）[拓展与创新]如图3，和均为等边三角形，，，为中点，连接、和，当时，直接写出的长        ．

5 . 问题背景：如图，在正方形中，边长为．点，是边，上两点，且，连接，，与相交于点．

(1)探索发现：探索线段与的关系，并说明理由；
(2)探索发现：若点，分别是与的中点，计算的长；
(3)拓展提高：延长至，连接，若，请直接写出线段的长．

7 . 如图，量筒的液面呈凹形，近似看成圆弧，读数时视线要与液面相切于最低点C（即弧中点）．小温想探究仰视、俯视对读数的影响，当他俯视点C时，记录量筒上点D的高度为；仰视点C（点E、C、B在同一直线），记录量筒上点E的高度为，若点D在液面圆弧所在圆上，量筒直径为，则平视点C，点C的高度为______．

8 . 综合与实践：在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为的正方形D与边长为的正方形按图1位置放置，与在同一直线上，与在同一直线上．连接，，易得且(不需要说明理由)．

(1)如下图，小明将正方形绕点A逆时针旋转，旋转角为．
①连接，，判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；

②在旋转过程中，如下图，连接，，，，求四边形面积的最大值．

(2)如下图，分别取，，，的中点M，N，P，Q，连接，，，，则四边形的形状为______，四边形面积的最大值是______．

9 . 【读一读】
一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类（即给一类图形下定义——定义概念便于归类、交流与表达），然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题．课本里对三角形、四边形的研究即遵循着上面的思路．
【算一算】
当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题．比如有下面的问题，请你研究．如图，在中，，点M、N分别为边、的中点，连接．

(1)如图1，若，，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点A、E、F在同一直线上时，与相交于点，连接、．
①填空：______（填度数），是______三角形（填类别）；
②求的长．
(2)如图2，若，将绕点顺时针旋转，得到，连接、．当旋转角满足，点C、E、F在同一直线上时，利用所提供的图2和备用图探究与的数量关系，并说明理由．