1 . 如图，在矩形中，点E在边上，，的平分线交于点G，交于点F．

(1)若点E为中点，求证：；
(2)判断的形状，并加以证明；
(3)若，求证：；

2 . 如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．

(1)求证：AM=AD+MC．
(2)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，试判断AM=AD+MC是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
(3)若（2）中矩形ABCD两边AB=6，BC=9，则AM=       ．（填答案）

3 . 如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线EF与AB、CD的延长线分别交于点E、F．

（1）求证：；
（2）以A、E、C、F为顶点的四边形是平行四边形？试证明你的结论．

4 . 如图，在矩形ABCD中，点O是AC的中点，AC＝2AB，延长AB至G，使BG＝AB，连接GO交BC于E，延长GO交AD于F，连接AE．
求证：（1）△ABC≌△AOG；
（2）猜测四边形AECF的形状并证明你的猜想．

5 . 如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．

(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．

6 . 如图1，在矩形中，，，点是对角线上的动点（与点不重合），连接，过点作，交边于点．

(1)当时，求证：；
(2)点在运动过程中，的值是否发生变化？如果变化，请指出是如何变化，如果不变，请求出的值；
(3)当等腰三角形时，求的长；
(4)如图2，当为的中点时，连接交于点，将沿翻折得到，连接交于点，求的值．

7 . 如图，在矩形中，对角线相交于点，是边上的点，连结，交于点，过点作于点，交于点．

(1)求证：；
(2)当恰好平分时，
①判断的形状，并说明理由；
②求证：；
③记的面积为，的面积为，当时，求的值．

8 . 如图，矩形中，，，是中点，点在边上，且，连接并延长交线段的延长线于点．过点作于点，交于点，连接，．
   
(1)求证：；
(2)求证：是等腰直角三角形；
(3)求的面积．

9 . 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交、、于点、、，连接和．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，求菱形的周长．

10 . 已知：如图，在中，，，垂足为，是外角的平分线，，垂足为，连接交于．

(1)求证：四边形为矩形．
(2)线段与有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．
(3)当满足什么条件时，四边形是一个正方形？简述你的理由．