1 . 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103－104页的部分内容．
如图24.2.1，画，并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你一定会发现，恰好是的一半．
接下来，请你用演绎推理证明这一猜想．
【定理证明】请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．
已知：如图①，在中，是斜边上的中线，求证： ．

【定理应用】
（1）如图②，在中，，垂足为点D（点D在上），是边上的中线，垂直平分．求证：；
（2）在（1）条件下，若于点F，连接．当是等边三角形，且时，求的周长．

2 . 阅读下面材料，完成相应的任务．

阿波罗尼奥斯定理

阿波罗尼奥斯（约公元前262－190年），古希腊数学家，与欧几里得、阿基米德合称为古希腊亚历山大前期的三大数学家．阿波罗尼奥斯定理又称中线定理，其内容为三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．
如图，在中，点D为的中点，根据阿波罗尼奥斯定理，可得．

下面是该定理的部分证明过程：
证明：如图，过点A作于点E．
在中，由勾股定理，得．
同理可得，．
∵点D为的中点，∴．
∴…
任务：
(1)按照上面的思路，将该定理剩余的证明过程补充完整；
(2)请利用阿波罗尼奥斯定理解决下面的问题：如图，已知点P为矩形内任意一点，求证：．

3 . 证明文字命题：对角线互相垂直的矩形是正方形．（画出图形、写出已知、求证与证明）

4 . 在学习矩形时，小礼思考怎样在矩形里面剪出一个平行四边形，小礼的思路是：如图，连接，作的平分线，交于点，作的平分线，交于点，连接，，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来证明四边形是平行四边形．

(1)尺规作图：作的平分线，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：四边形是平行四边形．
证明：四边形是矩形，
，，，
，
① ，
，分别平分，，
，，
②
，
，，
，
，
③ ，
四边形是平行四边形（ ④ ）

5 . 如图，在矩形中，，点在上，连接．

   

(1)过点作，垂足为点；（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）．
(2)根据（1）中作图，求证：．
证明：四边形是矩形，
且．
，
①______．
．
，
．
在与中，，
②______．
③______．
，
．
④______．
．

6 . 【模型学习】
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到．

【初步运用】
（1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若，，求正方形的边长；
【拓展迁移】
（3）如图3，在矩形中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由．

7 . 下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，请根据提示分别完成证明．

性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在中，是斜边的中线． 求证：．
方法一 证明：如图，延长至点D，使得，连接．	方法二 证明：如图，取的中点D，连接．

8 . 【问题解决】（1）如图①，正方形的对角线相交于点O，过点O作，分别交，边于点E，F．在实验与探究中，小红发现通过证明，可得．请帮助小红完成证明过程；
【类比探究】（2）如图②，在矩形中，O为对角线上任意一点，过点O作，交边于点F，当时，求证：；
【拓展提升】（3）如图③，在平行四边形中，O为对角线上任意一点，过点O作．交边于点F，求证：．

10 . 如图，在矩形中，是线段上的一点，连接．
(1)在线段上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)在（1）所作的图中，求证：．
证明：四边形是矩形，
①______，
．
②______，
③______，
，
④______，
⑤______，
四边形是平行四边形，
．