2024八年级下·全国·专题练习
1 . 已知：如图，在矩形
中，M、N分别是边
的中点，E、F分别是线段
的中点．
；
(2)判断四边形
是什么特殊四边形，并证明你的结论．
中，M、N分别是边的中点，E、F分别是线段的中点．
；(2)判断四边形
是什么特殊四边形，并证明你的结论．
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真题
2 . 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空：中，点
是对角线
的中点．用尺规过点作的垂线，分别交
，
于点
，
，连接
，
．（不写作法，保留作图痕迹）
(2)已知：矩形，点，分别在，上，
经过对角线的中点，且
．求证：四边形
是菱形．
证明：∵四边形是矩形，
∴
．
∴①，
．
∵点是的中点，
∴②．
∴
（AAS）．
∴③．
又∵
，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是菱形．
进一步思考，如果四边形是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．
中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接，．（不写作法，保留作图痕迹）(2)已知：矩形
，点，分别在，上，经过对角线的中点，且．求证：四边形是菱形．证明：∵四边形
是矩形，∴
．∴①，
．∵点
是的中点，∴②．
∴
（AAS）．∴③．
又∵
，∴四边形
是平行四边形．∵
，∴四边形
是菱形．进一步思考，如果四边形
是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④．
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3 . 【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第103－104页的部分内容．
如图24.2.1，画
，并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你一定会发现，恰好是的一半．
接下来，请你用演绎推理证明这一猜想．
【定理证明】请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．
已知：如图①，在中，
是斜边上的中线，求证： 
．
（1）如图②，在
中，
，垂足为点D（点D在
上），是边上的中线，
垂直平分．求证：
；
（2）在（1）条件下，若
于点F，连接
．当
是等边三角形，且
时，求的周长．
如图24.2.1，画
，并画出斜边上的中线，量一量，看看与有什么关系．相信你一定会发现，恰好是的一半．接下来，请你用演绎推理证明这一猜想．
【定理证明】请根据教材图24.2.2的提示，结合图①完成直角三角形的性质：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明．
已知：如图①，在
中，是斜边上的中线，求证： ．
（1）如图②，在
中，，垂足为点D（点D在上），是边上的中线，垂直平分．求证：；（2）在（1）条件下，若
于点F，连接．当是等边三角形，且时，求的周长．
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4 . 在矩形中，
，在
边上截取
，使
，点为的中点．如图1，连接
并延长交于点，连接
交于点
．
；
(2)若
，证明
．
(3)如图2，若
，连接，当取最小值时，求的最小值及矩形的面积．
中，，在边上截取，使，点为的中点．如图1，连接并延长交于点，连接交于点．
；(2)若
，证明．(3)如图2，若
，连接，当取最小值时，求的最小值及矩形的面积．
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2024-05-25更新
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47次组卷
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2卷引用：2024年四川省南充市高坪区中考二模考试数学试题
5 . 下面是证明“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质定理的两种添加辅助线的方法，请你选择其中一种方法，完成证明．
| 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．已知：如图，在中，是斜边上的中线．求证：． | |
方法一：（构造中位线法）证明：如图，取边的中点E，连接 ．
| 方法二：（倍长中线法）证明：如图，延长到点E，使 ，连接．
|
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名校
6 . 在学习矩形时，小礼思考怎样在矩形里面剪出一个平行四边形，小礼的思路是：如图，连接，作
的平分线
，交于点，作
的平分线，交于点，连接，
，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来证明四边形
是平行四边形．
(1)尺规作图：作的平分线，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证：四边形是平行四边形．
证明：
四边形是矩形，
，
，
，
，
① ，
，分别平分，，
，
，
②
，
，
，
，
，
③ ，
四边形是平行四边形（ ④ ）
里面剪出一个平行四边形，小礼的思路是：如图，连接，作的平分线，交于点，作的平分线，交于点，连接，，通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来证明四边形是平行四边形．(1)尺规作图：作
的平分线，交于点，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）(2)求证：四边形
是平行四边形．证明：
四边形是矩形，，，，， ① ，，分别平分，，，， ② ，，，，， ③ ，四边形是平行四边形（ ④ ）
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7 . 【模型学习】
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是的边上一点，E是的中点，过点C作
，交的延长线于点F，可得到
．
（1）如图2，在正方形中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足
，连接交于点G，求证：
；
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接并延长，交于点H，若
，
，求正方形的边长；
【拓展迁移】
（3）如图3，在矩形中，
，点E在上，点F在的延长线上，且满足
，连接交于点G．判断与
之间的数量关系，并说明理由．
构造“平行8字型”全等三角形模型是证明线段相等的一种方法．例如：如图1，D是
的边上一点，E是的中点，过点C作，交的延长线于点F，可得到．
（1）如图2，在正方形
中，点E是上一点，点F是的延长线上一点，且满足，连接交于点G，求证：；【深入探究】
（2）如图2，在（1）的条件下，连接
并延长，交于点H，若，，求正方形的边长；【拓展迁移】
（3）如图3，在矩形
中，，点E在上，点F在的延长线上，且满足，连接交于点G．判断与之间的数量关系，并说明理由．
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8 . 如图所示，在矩形
中，O是
与
的交点，过点O的直线
与
，
的延长线分别交于点E，F．
；
(2)当与满足什么条件时，四边形
是菱形？并证明你的结论．
中，O是与的交点，过点O的直线与，的延长线分别交于点E，F．
；(2)当
与满足什么条件时，四边形是菱形？并证明你的结论．
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名校
9 . 如图，在矩形中，
，点
在
上，连接
．
作
，垂足为点
；（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）．
(2)根据（1）中作图，求证：
．
证明：四边形是矩形，
且
．
，
①______．
．
，
．
在
与
中，
，
②______．
③______．
，
．
④______
．
．
中，，点在上，连接．
作，垂足为点；（要求：尺规作图，不写作法和结论，保留作图痕迹）．(2)根据（1）中作图，求证：
．证明：
四边形是矩形，且．，①______．．，．在
与中，，②______．③______．，．④______．．
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10 . 阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
完美四边形
定义：在平行四边形中，若有一条对角线的长是一边长的两倍，则这个平行四边形叫做“完美四边形”，其中这条对角线叫做完美对角线，这条边叫做完美边．
如图1、四边形是平行四边形．
，是的中点，连接，并延长交的延长线于点，连接
．求证：四边形
是完美四边形． 是平行四边形，
∴，即
，
∴
（依据1），
∵是的中点，
∴
．
在
和
中，
∴
，
∴
，
∴四边形是平行四边形（依据2）．
，
，
∴四边形是完美四边形．
任务：
(1)材料中的依据1是指 ；依据2是指 ．
(2)如图2，在矩形中，
，
是否存在值
，使得矩形是完美四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
完美四边形
定义：在平行四边形中，若有一条对角线的长是一边长的两倍，则这个平行四边形叫做“完美四边形”，其中这条对角线叫做完美对角线，这条边叫做完美边．
如图1、四边形
是平行四边形．，是的中点，连接，并延长交的延长线于点，连接．求证：四边形是完美四边形． 
是平行四边形，∴
，即，∴
（依据1），∵
是的中点，∴
．在
和中，∴
，∴
，∴四边形
是平行四边形（依据2）．，，∴四边形
是完美四边形．任务：
(1)材料中的依据1是指 ；依据2是指 ．
(2)如图2，在矩形
中，，是否存在值，使得矩形是完美四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
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