1 . 如图，四边形是矩形，对角线、相交于点O，交的延长线于点E，求证：．

2 . 在中，D是的中点，，垂足分别是．
(1)求证：；
(2)当时，求证：四边形为正方形．

3 . 【问题解决】（1）如图①，正方形的对角线相交于点O，过点O作，分别交，边于点E，F．在实验与探究中，小红发现通过证明，可得．请帮助小红完成证明过程；
【类比探究】（2）如图②，在矩形中，O为对角线上任意一点，过点O作，交边于点F，当时，求证：；
【拓展提升】（3）如图③，在平行四边形中，O为对角线上任意一点，过点O作．交边于点F，求证：．

4 . 在中，，点是边上的一点，连接，作，，连接．

(1)如图1，当时，求证：；
(2)如图2，当是边的中点时，若，，求四边形的面积．

5 . 如图，在矩形中，点、分别在边、上，，连接，．求证：．

6 . 图①、图②都是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上

(1)在图①中，画出一个以为边的四边形，使其是中心对称图形不是轴对称图形且边长均为无理数；
(2)在图②中，作出线段的中点P，保留作图痕迹

7 . 已知，矩形中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为．

(1)如图，连接，求证四边形的菱形；
(2)求的长．

8 . 如图，在矩形中，对角线的垂直平分线与相交于点M，与相交于点O，与相交于点N，连接

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．

9 . 如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F．

(1)求证：；
(2)连接，若，且F为中点，求的值；
(3)若，移动点P，使与相似，直接写出的值．