1 . 综合与实践卜
数学活动∶在综合与实践活动课上,老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动,探究线段长度的有关问题.
动手操作:在中,,,,将三角形纸片进行以下操作:
第一步∶如图1,将沿着进行翻折,使点C与点A重合,然后展开铺平,得到折痕;
第二步∶如图2,隐去,将沿折痕剪开,然后将绕点D逆时针方向旋转得到,点E,C的对应点分别是点F,G,射线与边交于点M,(M不与点A重合),与边交于点N,线段与交于点P.
数学思考:
(1)在图1中,求证∶;
(2)在图2中,绕点D旋转的过程中,试判断与的数量关系,并证明你的结论;
(3)在绕点D旋转的过程中,探究下列问题:
①如图3,当时,________;
②如图4,当经过点B时,________.
数学活动∶在综合与实践活动课上,老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动,探究线段长度的有关问题.
动手操作:在中,,,,将三角形纸片进行以下操作:
第一步∶如图1,将沿着进行翻折,使点C与点A重合,然后展开铺平,得到折痕;
第二步∶如图2,隐去,将沿折痕剪开,然后将绕点D逆时针方向旋转得到,点E,C的对应点分别是点F,G,射线与边交于点M,(M不与点A重合),与边交于点N,线段与交于点P.
数学思考:
(1)在图1中,求证∶;
(2)在图2中,绕点D旋转的过程中,试判断与的数量关系,并证明你的结论;
(3)在绕点D旋转的过程中,探究下列问题:
①如图3,当时,________;
②如图4,当经过点B时,________.
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名校
2 . 2022版《数学课程标准》指明推理能力是指从一些事实和命题出发,依据规则推出其他命题或结论的能力,目前我们已经具备应用已学知识证明其他结论的能力.请阅读下列材料,完成相应任务.
【方法解析】
【数学思想】
(2)上述证明方法中主要体现的数学思想是________;
A.转化思想 B.类比思想 C.数形结合思想 D.从一般到特殊思想
【知识迁移】
(3)如图3,点是线段上一点,,点是线段上一点,分别连接,点,分别是和的中点,连接.若,,,请求的长.
【方法解析】
求证:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 如图1,中,,是斜边上的中线.求证:. 分析:要证明等于的一半.可以用“倍长法”将延长一倍,如图2,延长到,使得.连接,.可证四边形是矩形,由矩形的对角线相等得,这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系,进而得到. |
(1)请你按材料中的分析写出证明过程;
【数学思想】
(2)上述证明方法中主要体现的数学思想是________;
A.转化思想 B.类比思想 C.数形结合思想 D.从一般到特殊思想
【知识迁移】
(3)如图3,点是线段上一点,,点是线段上一点,分别连接,点,分别是和的中点,连接.若,,,请求的长.
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2024-01-09更新
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65次组卷
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8卷引用:山西省吕梁市孝义市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题
山西省吕梁市孝义市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题河南省焦作市2021-2022学年八年级下学期期末数学试题(已下线)题型四 阅读理解题(已下线)专题 18.60 平行四边形(全章复习与巩固)(培优篇)(专项练习)-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)黑龙江省鸡西市2022-2023学年八年级下学期期中数学试题(已下线)专题1.7 特殊平行四边形章末八大题型总结(培优篇)-2023-2024学年九年级数学上册举一反三系列(北师大版)辽宁省丹东市宽甸满族自治县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题重庆市长寿区长寿川维中学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
名校
3 . 阅读与思考:
小明同学在学习矩形性质之后,对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了及时的梳理与总结.阅读小明同学的笔记,并完成相应任务
任务:
(1)①依据为:______________
(2)请补小明的全证明过程;
(3)上述证明方法中主要体现的数学思想是______;
A.转化思想 B.类比思想 C.数形结合思想 D.从一般到特殊思想
(4)将和按图3放置,其中,,点A、B、D在一直线上,分别取和的中点F和G,连接GF.若,,,则______.
小明同学在学习矩形性质之后,对直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明思路做了及时的梳理与总结.阅读小明同学的笔记,并完成相应任务
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 如图1,中,,是斜边上的中线.求证:. 分析:要证明等于的一半.可以用“倍长法”将延长一倍,如图2,延长到E,使得.连接,.可证四边形是矩形,由矩形的对角线相等得,这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系,进而得到. 证明:延长到E,使得,连接、,如图2所示: ∵是斜边上的中线, ∴ 又∵, ∴四边形是平行四边形(①依据:__________) |
(1)①依据为:______________
(2)请补小明的全证明过程;
(3)上述证明方法中主要体现的数学思想是______;
A.转化思想 B.类比思想 C.数形结合思想 D.从一般到特殊思想
(4)将和按图3放置,其中,,点A、B、D在一直线上,分别取和的中点F和G,连接GF.若,,,则______.
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名校
4 . 综合与实践
问题情境:
已知正方形,点是边上一点,将正方形绕点顺时针旋转,得到正方形,连接,.
猜想证明:
(1)当时,如图(1),
①连接,,,求证:四边形是矩形;
②试猜想线段,之间的数量关系,并说明理由.
解决问题:
(2)当时,
①______________(用含的式子表示);
②当,且点在的延长线上时,如图(2),若,求的长.
问题情境:
已知正方形,点是边上一点,将正方形绕点顺时针旋转,得到正方形,连接,.
猜想证明:
(1)当时,如图(1),
①连接,,,求证:四边形是矩形;
②试猜想线段,之间的数量关系,并说明理由.
解决问题:
(2)当时,
①______________(用含的式子表示);
②当,且点在的延长线上时,如图(2),若,求的长.
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5 . 阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:
三角形中位线定理的证明
如图1,△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,像DE这样,连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.求证:DE∥BC,且DE=BC.
证明:如图2,延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.
∵AE=EC,DE=EF,
∴四边形ADCF是平行四边形(依据1).
∴CF//DA,CF=DA.
∵DA=BD,
∴CF//BD,CF=BD.
∴四边形DBCF是平行四边形(依据2).
∴CF//BC,CF=BC.
∵DE=DF,
∴DE∥BC,且DE=BC.
归纳总结:
上述证明过程中运用了“倍长线段法”,也有人称材料中的方法为“倍长法”(延长了三角形中位线的一倍),该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法.
任务(1)
上述材料证明过程中的“依据1”是指: ;
“依据2”是指: ;
类比探究
数学学习小组发现还可以用“倍长线段法”证明定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知:如图3,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,E为AB边的中点,求证:CE=AB.
证明:延长CE到点F,使EF=CE,连接BF,AF,如图4.
任务(2)请将证明过程补充完整.
三角形中位线定理的证明
如图1,△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,连接DE,像DE这样,连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线.求证:DE∥BC,且DE=BC.
证明:如图2,延长DE到点F,使EF=DE,连接FC,DC,AF.
∵AE=EC,DE=EF,
∴四边形ADCF是平行四边形(依据1).
∴CF//DA,CF=DA.
∵DA=BD,
∴CF//BD,CF=BD.
∴四边形DBCF是平行四边形(依据2).
∴CF//BC,CF=BC.
∵DE=DF,
∴DE∥BC,且DE=BC.
归纳总结:
上述证明过程中运用了“倍长线段法”,也有人称材料中的方法为“倍长法”(延长了三角形中位线的一倍),该方法是解决初中数学几何题的一种常用方法.
任务(1)
上述材料证明过程中的“依据1”是指: ;
“依据2”是指: ;
类比探究
数学学习小组发现还可以用“倍长线段法”证明定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
已知:如图3,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,E为AB边的中点,求证:CE=AB.
证明:延长CE到点F,使EF=CE,连接BF,AF,如图4.
任务(2)请将证明过程补充完整.
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2021-08-30更新
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315次组卷
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3卷引用:山西省大同市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题
名校
6 . 求证:直角三角形斜边上中线等于斜边的一半.
已知:如图,在中,,点是的中点.求证:.
证明:延长到,使,
连接、
中间的证明过程排乱了:
①∵
②∵,;
③∴四边形是平行四边形;
④∴四边形是矩形.
∴,∴.
则中间证明过程正确的顺序是( ).
已知:如图,在中,,点是的中点.求证:.
证明:延长到,使,
连接、
中间的证明过程排乱了:
①∵
②∵,;
③∴四边形是平行四边形;
④∴四边形是矩形.
∴,∴.
则中间证明过程正确的顺序是( ).
A.①④②③ | B.①③②④ | C.②④①③ | D.②③①④ |
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2020-11-04更新
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480次组卷
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8卷引用:山西省太原师范学院附属中学2021-2022学年九年级上学期阶段考试数学试题
2015·山东青岛·中考真题
真题
7 . 已知:如图,△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE;垂足为E,
(1)求证:△ABD≌△CAE;
(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.
(1)求证:△ABD≌△CAE;
(2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论.
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2019-01-30更新
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1201次组卷
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11卷引用:【万唯原创】2016年山西中考数学-试题研究-第一部分考点研究 第四章2
(已下线)【万唯原创】2016年山西中考数学-试题研究-第一部分考点研究 第四章2山西省临汾市部分学校2021-2022学年八年级下学期学科素养形成练习(三)数学试题2015年初中毕业升学考试(山东青岛卷)数学2014-2015学年湖北省孝感市安陆市八年级下学期期末数学试卷山东省淄博市沂源县2017届中考一模数学试题2017-2018学年华东师大版八年级数学下册第18章达标检测卷2018年春八年级数学下册(华东师大版):第18章达标检测卷2017年四川省南充市高坪区中考数学一诊试卷天津市红桥区普通中学2018届九年级中考复习综合检测数学试题2019春冀教版八年级数学下册练习:第22章达标检测卷(已下线)【万唯原创】2016年安徽省中考数学-试题研究-练习册-第四章3
真题
名校
8 . 已知:如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,CD⊥AD,AD2+CD2=2AB2.
(1)求证:AB=BC;
(2)当BE⊥AD于E时,试证明:BE=AE+CD.
(1)求证:AB=BC;
(2)当BE⊥AD于E时,试证明:BE=AE+CD.
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2019-01-30更新
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848次组卷
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15卷引用:2015-2016学年山西省农大附中八年级下学期学业水平测试数学试卷
2015-2016学年山西省农大附中八年级下学期学业水平测试数学试卷(已下线)2011年初中毕业升学考试(山东烟台卷)数学(已下线)2011年初中毕业升学考试(北京卷)数学(已下线)2012年初中毕业升学考试(山东枣庄卷)数学(已下线)2012-2013学年江苏省宿迁市四校八年级第二次联考数学试卷(已下线)第19章综合测评卷-2018年八年级下册数学名师学案(沪科版)沪教版八年级数学下第二十二章《四边形》全章复习巩固练习 湖北省黄冈市麻城市思源实验学校2019-2020学年八年级下学期3月月考数学试题河南省洛阳市宜阳县2018-2019学年八年级下学期期末数学试题甘肃省武威市凉州区洪祥乡洪祥中学2019-2020学年八年级下学期期末数学试题广西南宁上林县中学2019-2020学年八年级下学期第一次月考数学试题福建省漳州市祺才学校(诏安县中扬英才学校)2022-2023学年八年级下学期第一次月考数学试题黑龙江省富锦市双语学校2021-2022学年八年级下学期期中数学试题河南省郑州市郑州中学2023-2024学年八年级上学期第一次月考数学试题河南省郑州市中原区郑州中学2023-2024学年八年级上学期10月月考数学试题
9 . 综合与实践
问题情境:
在数学课上,张老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动.如图,在菱形纸片中,,,将菱形沿对角线剪开,得到和,将沿射线方向平移一定距离得到,连接,.猜想证明:
(1)如图1,试判断四边形的形状,并说明理由;
实践探究:
(2)如图2,当四边形为矩形时,求平移的距离;
问题拓展:
(3)小颖同学受张老师启发将菱形沿对角线剪开,得到和,按如图3方式放置进行平移探究.将沿方向平移,连接,,并添加条件使得以A、F、C、E为顶点的四边形是一个特殊四边形,请在图4中画出平移后的图形,并写出必要的文字说明.
问题情境:
在数学课上,张老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动.如图,在菱形纸片中,,,将菱形沿对角线剪开,得到和,将沿射线方向平移一定距离得到,连接,.猜想证明:
(1)如图1,试判断四边形的形状,并说明理由;
实践探究:
(2)如图2,当四边形为矩形时,求平移的距离;
问题拓展:
(3)小颖同学受张老师启发将菱形沿对角线剪开,得到和,按如图3方式放置进行平移探究.将沿方向平移,连接,,并添加条件使得以A、F、C、E为顶点的四边形是一个特殊四边形,请在图4中画出平移后的图形,并写出必要的文字说明.
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2024-03-31更新
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90次组卷
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2卷引用:2024年山西省临汾市洪洞县中考一模数学试题
10 . 综合与实践
问题情境:
如图1,中,,,点C在直线l上,点A、B在直线l的同侧,过点A作于点D.
(1)如图1,在直线l上取点E,使.则与的数量关系是__________,此时、、之间的数量关系是___________.
探究证明:
(2)如图2,在直线l上取点F,使,猜想与的数量关系,并说明理由(辅助线提示:过点B作于点H)
拓展延伸:
(3)在直线l任取一点P,连接,以点P为直角顶点作等腰直角三角形,作 于点N,请分别探索在图3,图4中、、之间的数量关系,直接写出答案.
问题情境:
如图1,中,,,点C在直线l上,点A、B在直线l的同侧,过点A作于点D.
(1)如图1,在直线l上取点E,使.则与的数量关系是__________,此时、、之间的数量关系是___________.
探究证明:
(2)如图2,在直线l上取点F,使,猜想与的数量关系,并说明理由(辅助线提示:过点B作于点H)
拓展延伸:
(3)在直线l任取一点P,连接,以点P为直角顶点作等腰直角三角形,作 于点N,请分别探索在图3,图4中、、之间的数量关系,直接写出答案.
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