1 . 阅读与思考
下面是小刚同学的数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．

梯形的中位线 如图1，在梯形中，，，是的中点，是的中点，连接，则叫作梯形的中位线，并满足，． 证明：如图2，连接并延长，交的延长线于点． ， （依据1）． 是的中点， ． ，，， （依据2）， ……

任务：
（1）填空：材料中的依据1是指___________；依据2是指___________．
（2）将上述方法的证明过程补充完整．
（3）如图3，在梯形中，，，，以，分别为边构造正方形、，连接，取线段的中点为，连接，则的面积为___________．

2 . 综合与实践
问题情境：
综合实践课上，老师让同学们以“三角形与四边形的相互转化”为主题展开数学活动．善思小组发现特殊三角形和特殊四边形之间可以相互转化解决问题，如矩形可以转化为两个直角三角形，菱形可以转化为两个等腰三角形等；而特殊三角形也可以转化为特殊四边形．他们通过探究提出“以等腰三角形为背景可以构造出平行四边形”，具体操作如下：如图1，在等腰三角形中，为边上一点，过点B作，且，以点E为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点F，连接并延长，交的延长线于点G，连接．

观察发现：
（1）①图1中与的数量关系为___________；
②在不添加字母的条件下找出图1中的平行四边形，并说明理由．
（2）如图1，试猜想与的位置关系，并给出证明．
拓展应用：
（3）如图2，在等腰三角形中，其他条件不变，若射线恰好经过的中点O，且，，请直接写出的长．

3 . 问题情境：
在直角三角形中，，，将直角三角形绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为点，，连接，，，分别为，的中点，连接，．
猜想证明：
（1）如图，当恰好经过点时，与的位置关系是___________，数量关系是____________．
问题解决：
如图，当恰好经过点时．
（2）试猜想与的位置关系和数量关系，并说明理由．
（3）连接，若，请直接写出线段的长．

4 . 综合与实践
问题情境：
如图1，中，，，点C在直线l上，点A、B在直线l的同侧，过点A作于点D．
   
(1)如图1，在直线l上取点E，使．则与的数量关系是__________，此时、、之间的数量关系是___________．
探究证明：
(2)如图2，在直线l上取点F，使，猜想与的数量关系，并说明理由（辅助线提示：过点B作于点H）
拓展延伸：
(3)在直线l任取一点P，连接，以点P为直角顶点作等腰直角三角形，作 于点N，请分别探索在图3，图4中、、之间的数量关系，直接写出答案．
   

5 . 综合与实践
问题情境：在中，．点在斜边上运动，过点作射线，分别与边交于点．
猜想证明：
（1）当点在斜边的中点处时，
   
①如图（1），在旋转过程中，当点时，与的数量关系是______，_______．
②当旋转到如图②所示的位置时，的值是否发生变化？若不变，请证明；若变化，请说明理由．
③如图③，在旋转过程中，当时，直接写出线段的长_______；
类比探究
（2）当点在斜边上运动时，
①如图④，当点运动到时，_______；
②如图⑤，连接，当是等腰三角形时，求的长．

6 . 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务.
数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题：已知矩形，利用尺规作一个菱形，使菱形的四个顶点在矩形的边上.
勤奋组的方法为：如图1，做线段的垂直平分线，交于点，做的垂直平分线，分别交于点，顺次连接，则四边形是菱形.
   
善思小组分享的方法是：如图2，分别以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则点与点重合，点于点重合时，四边形是特殊的菱形.
任务：
(1)证明勤奋组的作法正确；
(2)分别在图3和图4的平行四边形中用不同于材料中的方法作菱形，要求尺规作图，保留作图痕迹，顶点在原四边形的边上．
   

7 . 阅读下列材料，并完成相应任务．

运用“双求法”证明勾股定理 勾股定理表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，是我国古代数学的骄傲，它神秘而美妙，证法多样，是数学定理中证明方法最多的定理之一．勾股定理的证明过程多数采用的方法是“用两种不同的方法和含有a，b，c的式子表示同一个图形的面积”，由于同一个图形的面积相等，从而得到含a，b，c的恒等式，通过化简即可完成勾股定理的证明．数学上把这种方法称之为“双求法”． 下面是利用“双求法”证明勾股定理的一种思路： 如图1，将两个全等的直角三角形与如图摆放，其中，，，．连接BD，过点D作BC延长线的垂线，垂足为F，容易得出，用含a，b，c的式子表示出上面四个三角形的面积，就能完成勾股定理的证明．

任务一：请你根据上述材料中的思路证明勾股定理；
任务二：请你用“双求法”解决下列问题；
如图2，中，，CD是AB边上的高，若，，则______．（直接写出答案）