1 . 请仔细阅读下面的材料，并完成相应的任务.
数学兴趣课上，老师和同学们共同探讨了下面的问题：已知矩形，利用尺规作一个菱形，使菱形的四个顶点在矩形的边上.
勤奋组的方法为：如图1，做线段的垂直平分线，交于点，做的垂直平分线，分别交于点，顺次连接，则四边形是菱形.
   
善思小组分享的方法是：如图2，分别以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则点与点重合，点于点重合时，四边形是特殊的菱形.
任务：
(1)证明勤奋组的作法正确；
(2)分别在图3和图4的平行四边形中用不同于材料中的方法作菱形，要求尺规作图，保留作图痕迹，顶点在原四边形的边上．
   

3 . 阅读与思考
下面是小亮同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务．

×年×月×日       星期六       晴

利用教学知识求穿衣镜的最小长度

今天我在一本课外读物上看到下面的材料，要想在穿衣镜（平面镜）中看到自己的全身像，穿衣镜的长度至少是身高的一半．我有如下思考：
如图1，已知人竖直站立，穿衣镜竖直放置，此时，为眼睛的位置，是人在穿衣镜中的像，，分别是过，的法线与的交点．
∵和是法线，
∴，．
∴．
∴．
∴四边形是矩形．
∴．
根据平面镜成像原理可知，
在和，，，，
∴．
∴．
……
因此，要想在穿衣镜中看到自己的全身像，穿衣镜上端处和人眼与头项的中点处齐平，此时穿衣镜有最小长度，即身高的一半．

任务：
(1)从小亮的日记中还可以知道，，可以用数学知识______来解释．
A.图形的轴对称       B.图形的旋转       C.图形的位似
(2)请你补全小亮的思考过程．
(3)应用：如图2，现有一面平面镜，竖直挂在墙上，某人身高为，他站在镜子前某处，眼睛只能看到部分身长，若他想看到自己的全身像，则将镜子下移的距离至少为______．

8 . 综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题．如图1，中，．将从图1的位置开始绕点C顺时针旋转得到（点A，B的对应点分别为点），旋转角为α（）．
操作思考：
（1）如图2，“明辨”小组画出了恰好经过点B时的图形．求此时旋转角α的度数；
（2）如图3，“善思”小组画出了点落在延长线上时的图形，此时点也恰好在的延长线上．过点B作的平行线交于点P，猜想和的数量关系，并说明理由；
拓展探究：
（3）如图4，“博学”小组在图2的基础上，将沿射线的方向平移，点B，C，的对应点分别为D，E，F，若，当以A，，D为顶点的三角形是以为底边的等腰三角形时，请直接写出平移的距离．

9 . 综合与实践
问题情境：
在数学课上，张老师带领同学们以“平移探究”为主题进行教学活动．如图，在菱形纸片中，，，将菱形沿对角线剪开，得到和，将沿射线方向平移一定距离得到，连接，．

猜想证明：
（1）如图1，试判断四边形的形状，并说明理由；
实践探究：
（2）如图2，当四边形为矩形时，求平移的距离；
问题拓展：
（3）小颖同学受张老师启发将菱形沿对角线剪开，得到和，按如图3方式放置进行平移探究．将沿方向平移，连接，，并添加条件使得以A、F、C、E为顶点的四边形是一个特殊四边形，请在图4中画出平移后的图形，并写出必要的文字说明．

10 . 小明的爸爸是测绘员，元旦期间，小明和爸爸带着经纬仪和无人机一起去郊外进行测绘实践活动，已知经纬仪的高度为1.5米．
   
活动一：
如图1，小明在点处安置经纬仪，测得与水平线的夹角，米，则点与点的高度差为________米．
活动二：
小明想继续测量山坡两侧点与点的高度差，但因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，小明寻求爸爸的帮助，爸爸画出如图2所示的测绘图纸，在点，处分别安置经纬仪，将无人机悬停到遮挡区域上空，测得与水平线的夹角，与水平线的夹角，米，米．请你根据以上数据求点与点的高度差．（参考数据：，，，）