1 . 图，在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，点F在边CD上，且，连接AF、BF．

(1)求证：四边形DEBF是矩形；
(2)若AF平分，，，求BF的长．

2 . 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，且，连结，．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求的长．

3 . 如图．在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点A出发沿AC方向以4cm∕秒的速度向点C匀速运动，同时点E从点B出发沿BA方向以2cm∕秒的速度向点A匀速运动，设点D、E运动的时间是t秒（0＜t＜15），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，动点D恰好在AF的垂直平分线上；
（3）点D、F在运动过程中是否存在t的值，使△DEF是直角三角形，若存在求出t的值，若不存在，说明理由．

4 . 如图，四边形是平行四边形，过点A作交的延长线于点E，点F在上，且，连接．

（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，求的长．

5 . 如图，在中，，将沿射线方向平移线段的长度得到，连接，，其中交于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．
   

6 . 如图，在四边形中，对角线，相交于点，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求的长．

7 . 如图，是的直径，切于点，交于点，平分，连接.

（1）求证:；
（2）若，，求的半径.

8 . 【问题情境】如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．
（1）【问题解决】延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断出中线AD的取值范围是　 　．
【反思感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑构造以该中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同个三角形中，从而解决问题．
（2）【尝试应用】如图②，△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，试猜想线段AB，AC，AD之间的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】如图③，△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，DM⊥DN，DM交AB于点M，DN交AC于点N，连接MN．当BM=4，MN=5，AC=6时，请直接写出中线AD的长．

9 . 如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．
(1)求证：四边形AGPH是矩形；
(2)在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．

10 . 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.

（1）求证：BD=BE；
（2）若∠DBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.