2 . （1）【操作发现】如图15，将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，请直接写出的度数；
（2）【拓展探究】如图16，继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．若，求线段的长；
（3）【迁移应用】如图17，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，求线段的长．

4 . 综合与实践
【问题情境】
如图1，正方形中，点E为其内一点，以点E为直角顶点，以为斜边构造直角三角形，使得，将绕点B按顺时针方向旋转，得到△（点A的对应点为C），延长交于点F，连接．

【解决问题】
请根据图1完成下列问题：
（1）若，则∠=        度；
（2）试判断四边形的形状，并给予证明；
【拓展探究】
（3）如图2，若，请写出线段与的数量关系，并说明理由．

5 . 某“数学学习兴趣小组”成员在复习《图形的变化》时，对下面的图形背景产生了浓厚的兴趣，并尝试运用由“特殊到一般”的思想进行了探究：

〖问题背景〗如图1，正方形中，点E为边上一点，连接，过点作交边于点，将沿直线折叠后，点落在点处，当，则　　°．

〖特例探究〗如图2，连接，当点恰好落在上时，求证：．

〖深入探究〗如图3，若把正方形改成矩形，且，其他条件不变，他们发现与之间也存在着一定的数量关系，请直接写出与之间的数量关系式．

〖拓展探究〗如图4，若把正方形改成菱形，且，，其他条件不变，当时，请直接写出的长．

6 . 综合与实践：
综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动．
【问题发现】
如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为______；
【拓展探究】
如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明．
【解决问题】
如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，直接写出的长．

7 . 【问题探究】如图①，在正方形中，，点为上的点，，连接，点为上的点，过点作交于点，交于点，求的长度．
此问题可以过点作于点，根据正方形的性质及矩形的判定与性质，易证
．根据全等三角形的性质得出， 再由勾股定理可以求得             ；
【类比迁移】如图②，在矩形中，， ， 连接，过的中点作交于点，交于点， 求的长度．
【拓展应用】如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地．记为． 测得 米，米， ．为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计）．直接写出新开出的小路的长度．
   

8 . 完成下列各题：

图（1）                            图（2）                                 图（3）

(1)【问题探究】如图（1）在正方形中，，点为上的点，，连接，点为上的点，过点作交于点，交于点，则的长度为_______．
(2)【类比迁移】如图（2）在矩形中，，，连接，过的中点作交于点，交于点，求的长度．
(3)【拓展应用】如图（3）李大爷家有一块平行四边形的菜地，测得米，米，，为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计），求新开出的小路的长度．

9 . 【问题发现】
（1）如图1，将正方形和正方形按如图所示的位置摆放，连接和，延长交的延长线于点H，求与的数量关系和位置关系．
           
【类比探究】
（2）若将“正方形和正方形改成”矩形和矩形，且矩形矩形，．，如图2，点E、D、G三点共线，点G在线段上时，若，求的长．
   
【拓展延伸】
（3）若将“正方形和正方形改成”菱形和菱形，且菱形菱形，如图3．，．平分．点P在射线上，在射线上截取，使得，连接，，当时，直接写出的长．
   

10 . 问题发现】
（1）若四边形是菱形，，点P是射线上一动点．为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由；
   
【类比探究】
（2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，，如图2．当点P在对角线上：
   
①求证：点E在边所在直线上；
②探究与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积及的长．