名校
1 . 如图，等腰
中，
为的外接圆，点
在弧
上，连接
，
，
．
(1)如图1，求证：
；
(2)如图2，过点
作的垂线交
于点
，垂足为点
，若
，且
，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，在弧
上取一点
，连接
并延长交于点
，连接
，延长
至点
，使
，连接
，若
，求线段的长．
中，为的外接圆，点在弧上，连接，，． (1)如图1，求证：
；(2)如图2，过点
作的垂线交于点，垂足为点，若，且，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，在弧
上取一点，连接并延长交于点，连接，延长至点，使，连接，若，求线段的长．
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名校
2 . 定义：有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”．例如：凸四边形
中，若
，则称四边形为准平行四边形．
(1)如图①，
，，
，
是上的四个点，延长
到，使
．求证：四边形
是准平行四边形；(2)如图②，准平行四边形
内接于，
，
，若的半径为
，
，求的长；(3)如图③，在
中，
，
，
，若四边形是准平行四边形，且
，请直接写出长的最大值．
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2023-10-19更新
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261次组卷
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3卷引用：江苏省 南通市 崇川区南通市新桥中学2022-2023学年九年级上学期第一次阶段性集中作业数学试题
解题方法
3 . 如图，在中，
，点为线段
一点，连接，将绕点旋转至
，连接和
（
）．
(1)如图1，若
，
，点P是延长线一点，连接，若
，
，
，求的长；
(2)如图2，
，作
于点
交于点，求证：
；
(3)如图3，在（2）的条件下，若
，点
是直线上一动点，连接
，当点运动到中点时，将
沿翻折至
，连接
，请直接写出
面积的最大值．
中，，点为线段一点，连接，将绕点旋转至，连接和（）． (1)如图1，若
，，点P是延长线一点，连接，若，，，求的长；(2)如图2，
，作于点交于点，求证：；(3)如图3，在（2）的条件下，若
，点是直线上一动点，连接，当点运动到中点时，将沿翻折至，连接，请直接写出面积的最大值．
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21-22九年级·浙江·自主招生
4 . 如图1，P为第一象限内一点，过P、O两点的
交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，
．
(1)求证：
平分
；
(2)作
交弦
于H；
①若
，求的长；
②若
，把
沿y轴翻折，得到
（如图2），求
的长（用含m，n的代数式表示）．
交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B，．(1)求证：
平分；(2)作
交弦于H；①若
，求的长；②若
，把沿y轴翻折，得到（如图2），求的长（用含m，n的代数式表示）．
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5 . 如图，在中，
，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、E三点作
，交延长线于点F，
，
，
．
(1)求证：
；
(2)当与相切于点D时，求的半径；
(3)若
，求
的值．
中，，D、E分别是AB、BC上的点，过B、D、E三点作，交延长线于点F，，，．(1)求证：
；(2)当
与相切于点D时，求的半径；(3)若
，求的值．
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6 . 在四边形中，对角线，相交于点
，将
绕点按逆时针方向旋转得到
，旋转角为
，连接
，
，与交于点．
(1)如图1，若四边形是正方形．请直接写出与的数量关系和位置关系．
(2)如图2，若四边形是菱形，
，
，判断与的数量关系和位置关系，并给出证明；
(3)如图3，若四边形是平行四边形，，
，连接
，设
，请直接写出
的值和
的值．
中，对角线，相交于点，将绕点按逆时针方向旋转得到，旋转角为，连接，，与交于点．(1)如图1，若四边形
是正方形．请直接写出与的数量关系和位置关系．(2)如图2，若四边形
是菱形，，，判断与的数量关系和位置关系，并给出证明；(3)如图3，若四边形
是平行四边形，，，连接，设，请直接写出的值和的值．
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7 . 如图，以
的直角顶点为坐标原点，
所在直线为
轴，建立平面直角坐标系，为
的中点，将一个足够大的三角板的直角顶点与重合，并绕点旋转，直角边
、
与边
、相交于、．
(1)如图
，当
时，请直接写出线段
与
的数量关系：______ ．
(2)如图
，当
时，请直接写出与的数量关系：______ ．
(3)当
时，猜想与的数量关系
用含有
的式子表示
，并结合图证明你的猜想．
(4)若
，
，为
的内心，结合图
，判断是否在双曲线
上，说明理由．
的直角顶点为坐标原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，为的中点，将一个足够大的三角板的直角顶点与重合，并绕点旋转，直角边、与边、相交于、．(1)如图
，当时，请直接写出线段与的数量关系：______ ．(2)如图
，当时，请直接写出与的数量关系：______ ．(3)当
时，猜想与的数量关系用含有的式子表示，并结合图证明你的猜想．(4)若
，，为的内心，结合图，判断是否在双曲线上，说明理由．
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名校
8 . 已知
，
，
，点线段中点，连接．为平面内一点，将线段绕点逆时针旋转
得到线段，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段交于点，若
，
，求
的面积；
(2)如图2，若点在
的内部连接、，线段交线段于点，当
时，
求证：
；
(3)如图3，过作的平行线，交直线于点．连接
．将
沿翻折得到
，当线段最短时，直接写出此时
的值．
，，，点线段中点，连接．为平面内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．(1)如图1，当点
在线段上时，线段与线段交于点，若，，求的面积；(2)如图2，若点
在的内部连接、，线段交线段于点，当时，求证：
；(3)如图3，过
作的平行线，交直线于点．连接．将沿翻折得到，当线段最短时，直接写出此时的值．
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9 . 如图，中，
，
中，
，
，直线与直线交于点F．现将
绕点C旋转一周，在旋转过程中，
______ 
，线段
长度的最大值是______ 
．
中，，中，，，直线与直线交于点F．现将绕点C旋转一周，在旋转过程中， ，线段长度的最大值是．
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2022-11-04更新
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423次组卷
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3卷引用：江苏省无锡市惠山区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题
江苏省无锡市惠山区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题湖北省黄石市还地桥教联体2022-2023学年九年级下学期开学考试数学试题（已下线）(期中期末真题汇编)第24章 圆 (分层精练）-【题型分类精粹】2023-2024学年九年级数学上学期期中期末复习讲练系列【考点闯关】（人教版）
名校
解题方法
10 . 【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形内接于，且每条边均与
相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．
【性质初探】
(1)双圆四边形的对角的数量关系是___________，依据是___________．
(2)直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）
(3)在图①中，连接
，
，求证
．
【揭示关系】
(4)根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
(5)已知P，M分别是双圆四边形的内切圆和外接圆的圆心，若
，
，
，则
的长为___________．
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形
内接于，且每条边均与相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．【性质初探】
(1)双圆四边形的对角的数量关系是___________，依据是___________．
(2)直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）
(3)在图①中，连接
，，求证．【揭示关系】
(4)根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
(5)已知P，M分别是双圆四边形
的内切圆和外接圆的圆心，若，，，则的长为___________．
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