1 . 小明同学在做作业时，遇到如下问题：如图1，已知：等边，点在上，以为边作等边，连接，求证：．
   
(1)请你解答小明的这道题；
(2)在这个问题中，当在上运动时，点是否在一条线段上运动？（直接答“是”或“不是”）
(3)如图2，正方形的边长为2，是直线上的一个动点，以为边作正方形按逆时针排列）．当在直线上运动时，点是否在一条直线上运动？如果是，请你画出这条直线并证明；如果不是，也请说明理由；
(4)连接，．
①求证：是定值；
②求的最小值（直接写出答案即可）．

3 . 在矩形ABCD中，点P是射线BC上一动点，点B关于直线AP的对称点为E，直线PE与直线CD交于点F．

(1)如图1，当A，C，E共线时，若，判断△ACF的形状，并证明；
(2)若当点P在线段BC上的某个位置时（不与B，C重合），有，求证：当点P在BC延长线上任意位置时，都有．

4 . 如图，在中，，，点，分别为边，上一点，与相交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好在线段的延长线上

(1)若，，求的长；
(2)若，为的中点，猜想线段和之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)在（2）的条件下，将沿直线翻折至所在平面内得到，点在线段上，且，点是线段上一动点，将沿直线翻折至所在平面内得到，点为线段上一动点，当取得最小值时，请直接写出的值．

5 . （1）呈现：如图1，等腰直角三角形的直角顶点在直线上，分别过点作于，于，则有．请你证明这个结论；
（2）应用：如图2，已知，，把线段绕点顺时针方向旋转后得到线段，求点的坐标；
（3）拓展：如图3，直线直线，垂足为，点A是直线上一定点，且，点在直线上运动，以为边作等腰，（点呈顺时针排列），当点在直线上运动时，点也随之运动．在点的运动过程中，的最小值为______．
   

6 . 材料：在处理有动点的几何问题时，寻求与动点相关的常量，可以帮我们分析出动点的运动轨迹，进而解决问题．如果动点C与定线段所成的为常量，那么点C的运动轨迹为射线，如图A．如果动点G与定直线的距离为常量，动点G的运动轨迹即为过点G且与直线平行的直线l，如图B．

下图中，矩形中，，点P在边上且，点M为直线上的一动点，以为直角边作等腰，，点N在直线的右下方，连接，当点M在边上运动时，

(1)分析点N的运动轨迹并写出证明过程；画出轨迹（尺规作图）．
(2)求周长的最小值．

9 . 综合与实践折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，既可以得到一些美丽的图形，同时还蕴含着丰富的数学知识．

如图①，在矩形纸片ABCD中，．
活动一：
(1)如图②，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在点C处，点D落在点处，展开得到折痕EF交AB边于点E，交CD边于点F，则_______；
活动二：
(2)如图③，连接图②中的AC交EF于点O，连接AF．猜想四边形AECF是什么特殊四边形，并证明你的猜想；
活动三：
(3)如图④，折叠矩形纸片ABCD，使点A落在BC边的中点处，点D落在点处，展开得到折痕EF交AB边于点E，交CD边于点F，则_______，_______；
活动四：
(4)如图⑤，若点A落在靠近点B的BC的四等分点处，即，则与相似吗？若相似，请直接写出相似比；若不相似，请说明理由．