1 . 矩形中，，，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为．
     
(1)观察发现：如图1，若点P恰好在边上，________（填写一个与相似的三角形）；
(2)拓展探究：如图1，若点P恰好在边上，则线段的长为________．
(3)迁移应用：如图2，若E是的中点，的延长线交于点F，其余条件不变，求线段的长．

2 . 如图1，在中，，，点、分别是边、上的点，且，将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为．

（1）问题发现：如图1，当时，________；
（2）拓展探究：试判断：当时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）问题解决：若为内一点，且，请直接写出线段、、之间的数量关系．

3 . 【提出问题】
（1）已知：菱形ABCD的边长为6，，为等边三角形，当点P与点D重合，点E在对角线AC上时（如图1所示），求的值．
【类比探究】
（2）在上面的问题中，如果把点P沿DA方向移动，使，其余条件不变（如图2），求的值；
【拓展迁移】
（3）在原问题中，当点P在线段DA的延长线上，点E在CA的延长线上时（如图3），设，请直接写出线段AE、AF的长与m有怎样的数量关系．
   

4 . 在中，，经过点B的直线l（l不与直线重合）与直线的夹角等于，分别过点C、A作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）问题发现：
①若，如图①，则________；
②若，如图②，则________；
（2）拓展探究：当时，的值有无变化？请仅就图③的情形给出证明；
（3）问题解决：若直线、交于点F，，，请直接写出线段的长．

5 . （1）证明推断：如图（1），在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，．
①求证：；
②推断：的值为　 　；
（2）类比探究：如图（2），在矩形中，（为常数）．将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点．试探究与之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接，当时，若，，求的长．

6 . 某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．
   
(1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证：
(2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

7 . 如图，P为⊙O的直径AB上的一个动点，点C在上，连接PC，过点A作PC的垂线交⊙O于点Q．已知AB＝5cm，AC＝3cm．设A、P两点间的距离为xcm，A、Q两点间的距离为ycm．某同学根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了x与y的几组值，如下表：

x（cm）	0			2.5		3.5	4	5
y（cm）	4.0	4.7	5.0	4.8		4.1	3.7

（说明：补全表格对的相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当AQ＝2AP时，AP的长度均为　　cm．

8 . 综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．
   
（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．

9 . 已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB = 90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.

（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
（2）设（1）中的相似比为，若AD︰BC = 2︰3. 请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？①当= 1时，是______ ；②当= 2时，是______ ；③当= 3时，是______ . 并证明= 2时的结论.