1 . 已知，是正数，求证：.

2 . 已知是奇函数，
（1）求常数的值；
（2）求f(x)的定义域和值域；
（3）讨论f(x)的单调性并证明.

3 . 已知实数，定义域为的函数是偶函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）求实数值；
（Ⅱ）判断该函数在上的单调性并用定义证明；
（Ⅲ）是否存在实数，使得对任意的，不等式恒成立．若存在，求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．

4 . 已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，有.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数在区间上的解析式，并利用定义证明其在该区间上的单调性；
（3）解关于的不等式．

5 . 已知函数，其中是自然对数的底数.
（1）证明：是上的奇函数；
（2）试判断方程的实根的个数；
（3）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

6 . 设，在集合的所有元素个数为2的子集中,把每个子集的较大元素相加和记为a，较小元素之和记为b.
(1)当n=3时,求a, b的值；
(2)当n=4时,求集合的所有3个元素子集中所有元素之和;
(3)对任意的，是否为定值？若是定值，请给出证明并求出这个定值；若不是，请说明理由.

7 . 已知函数，为常数

（1）若，判断并证明函数的奇偶性；

（2）若，用定义证明：函数在区间（0，）上是增函数．

8 . 已知函数 (且)的图象经过点 .
(1)求实数的值；
(2)若，求实数的值；
(3)判断并证明函数的单调性.

9 . 如果函数在定义域内存在区间，使得该函数在区间上的值域为，则称函数是该定义域上的“和谐函数”.
（1）求证：函数是“和谐函数”；
（2）若函数是“和谐函数”，求实数的取值范围.

10 . 已知函数.
(1)求证：在上是增函数；
(2)若在上恒成立，求的取值范围．