1 . （1）设，，证明：；
（2）设，，，证明：.

2 . 求证：关于x的方程有一个根小于1，另一个根大于1的充要条件是.

3 . 已知，，求的最小值.
解法如下：，
当且仅当，即，时取到等号，
则的最小值为.
应用上述解法，求解下列问题：
（1）已知，，求的最小值；
（2）已知，求的最小值；
（3）已知正数，满足.求证：.

4 . 已知.
（1）试比较与的大小；
（2）当时，证明：，并指出等号成立的条件；
（3）判断“”是“”的什么条件？并说明理由.

5 . 一半径为2m的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1m；已知水轮按逆时针做匀速转动，每3s转一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点P₀）开始计算时间.

（1）试建立适当的坐标系，将点P距离水面的高度（m）表示为时间（s）的函数；
（2）点第一次到达最高点大约要多长时间？
（3）记，求证：不论为何值，是定值.

6 . 设，，为非零实数，且，证明：
（1）；
（2）.

7 . f(x)是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0，且f(-1)=1.
（1）求f(0)，f(-2)的值；
（2）求证：f(x)为奇函数；
（3）求f(x)在[-2，4]上的最值.

8 . 已知由实数组成的集合，，又满足:若，则．
（1）设中含有3个元素，且求A；
（2）能否是仅含一个元素的单元素集，试说明理由；
（3） 中含元素个数一定是个吗？若是，给出证明，若不是，说明理由．

9 . 设、、为正数，且满足.
（1）求证：；
（2）若，，求、、的值.

10 . 已知集合，
（1）求证：任何奇数都是中的元素；
（2）判断偶数是否为的元素？请说明理由；
（3）求证：属于的两个元素之积仍属于；
（4）试求中第个正整数.