名校
1 . 已知函数,函数.
(1)若,求的值域;
(2)若:
(ⅰ)解关于的不等式:;
(ⅱ)设,若实数满足,比较与的大小,并证明你的结论.
(1)若,求的值域;
(2)若:
(ⅰ)解关于的不等式:;
(ⅱ)设,若实数满足,比较与的大小,并证明你的结论.
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2 . 已知S是全体复数集的一个非空子集,如果,总有,则称S是数环.设是数环,如果①内含有一个非零复数;②且,有,则称是数域.由定义知有理数集是数域.
(1)求元素个数最小的数环;
(2)证明:记,证明:是数域;
(3)若是数域,判断是否是数域,请说明理由.
(1)求元素个数最小的数环;
(2)证明:记,证明:是数域;
(3)若是数域,判断是否是数域,请说明理由.
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3 . 对于定义在上的函数,如果存在一组常数,,…,(为正整数,且),使得,,则称函数为“阶零和函数”.
(1)若函数,,请直接写出,是否为“2阶零和函数”;
(2)判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件(用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答),并证明你的结论;
(3)判断下列函数是否为“3阶零和函数”,并说明理由.,.
(1)若函数,,请直接写出,是否为“2阶零和函数”;
(2)判断“为2阶零和函数”是“为周期函数”的什么条件(用“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要”回答),并证明你的结论;
(3)判断下列函数是否为“3阶零和函数”,并说明理由.,.
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4 . 设为正整数,集合对于,设集合.
(1)若,写出集合;
(2)若,且满足令 ,求证: ;
(3)若,且 ,求证: .
(1)若,写出集合;
(2)若,且满足令 ,求证: ;
(3)若,且 ,求证: .
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5 . 在平面直角坐标系中,利用公式①(其中,,,为常数),将点变换为点的坐标,我们称该变换为线性变换,也称①为坐标变换公式,该变换公式①可由,,,组成的正方形数表唯一确定,我们将称为二阶矩阵,矩阵通常用大写英文字母,,…表示.(1)在平面直角坐标系中,将点绕原点按逆时针旋转得到点(到原点距离不变),求点的坐标;
(2)如图,在平面直角坐标系中,将点绕原点按逆时针旋转角得到点(到原点距离不变),求坐标变换公式及对应的二阶矩阵;
(3)向量(称为行向量形式),也可以写成,这种形式的向量称为列向量,线性变换坐标公式①可以表示为:,则称是二阶矩阵与向量的乘积,设是一个二阶矩阵,,是平面上的任意两个向量,求证:.
(2)如图,在平面直角坐标系中,将点绕原点按逆时针旋转角得到点(到原点距离不变),求坐标变换公式及对应的二阶矩阵;
(3)向量(称为行向量形式),也可以写成,这种形式的向量称为列向量,线性变换坐标公式①可以表示为:,则称是二阶矩阵与向量的乘积,设是一个二阶矩阵,,是平面上的任意两个向量,求证:.
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解题方法
6 . 若非空集合A与B,存在对应关系f,使A中的每一个元素a,B中总有唯一的元素b与它对应,则称这种对应为从A到B的映射,记作f:A→B.
设集合,(,),且.设有序四元数集合且,.对于给定的集合B,定义映射f:P→Q,记为,按映射f,若(),则;若(),则.记.
(1)若,,写出Y,并求;
(2)若,,求所有的总和;
(3)对于给定的,记,求所有的总和(用含m的式子表示).
设集合,(,),且.设有序四元数集合且,.对于给定的集合B,定义映射f:P→Q,记为,按映射f,若(),则;若(),则.记.
(1)若,,写出Y,并求;
(2)若,,求所有的总和;
(3)对于给定的,记,求所有的总和(用含m的式子表示).
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7 . 设非空数集M,对于M中的任意两个元素,如果满足:①两个元素之和属于M ②两个元素之差属于M.③两个元素之积属于M ④两个元素之商(分母不为零)也属于M.定义:满足条件①②③的数集M为数环(即数环对于加、减、乘运算封闭);满足④的数环M为数域(即数域对于加、减、乘、除运算封闭).
(1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环,假如该集合是数环,那么它是不是数域(无需说明理由);
(2)若M是一个数环,证明:;若S是一个数域,证明:;
(3)设,证明A是数域.
(1)判断自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C是不是数环,假如该集合是数环,那么它是不是数域(无需说明理由);
(2)若M是一个数环,证明:;若S是一个数域,证明:;
(3)设,证明A是数域.
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8 . 已知函数与有相同的定义域.若存在常数(),使得对于任意的,都存在,满足,则称函数是函数关于的“函数”.
(1)若,,试判断函数是否是关于的“函数”,并说明理由;
(2)若函数与均存在最大值与最小值,且函数是关于的“函数”,又是关于的“函数”,证明:;
(3)已知,,其定义域均为.给定正实数,若存在唯一的,使得是关于的“函数”,求的所有可能值.
(1)若,,试判断函数是否是关于的“函数”,并说明理由;
(2)若函数与均存在最大值与最小值,且函数是关于的“函数”,又是关于的“函数”,证明:;
(3)已知,,其定义域均为.给定正实数,若存在唯一的,使得是关于的“函数”,求的所有可能值.
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9 . 设,用表示不超过x的最大整数,则称为取整函数,取整函数是德国数学家高斯最先使用,也称高斯函数.该函数具有以下性质:
①的定义域为R,值域为Z;
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和,即,其中为x的整数部分,为x的小数部分;
③;
④若整数a,b满足,则.
(1)解方程;
(2)已知实数r满足,求的值;
(3)证明:对于任意的大于等于3的正整数n,均有.
①的定义域为R,值域为Z;
②任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和,即,其中为x的整数部分,为x的小数部分;
③;
④若整数a,b满足,则.
(1)解方程;
(2)已知实数r满足,求的值;
(3)证明:对于任意的大于等于3的正整数n,均有.
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10 . 已知函数,函数为偶函数.
(1)证明:为定值.
(2)若函数在内存在零点,且零点为,记,请写出X的所有可能取值.
(1)证明:为定值.
(2)若函数在内存在零点,且零点为,记,请写出X的所有可能取值.
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