1 . 已知．
(1)求证：；
(2)利用（1）的结论，试求函数的最小值．

2 . 设是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式．

3 . 已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求函数的解析式；
(2)判断函数的单调性，并用定义证明；

4 . 设函数.
(1)证明：在上单调递增；
(2)若方程在上有且仅有两个根、，证明：.

5 . 设函数（且，，），若是定义在上的奇函数且．
(1)求k和a的值；
(2)判断其单调性（无需证明），并求关于t的不等式成立时，实数t的取值范围；
(3)函数，，求的值域．

6 . 已知函数．
(1)判断在上的单调性，并用定义加以证明；
(2)设函数，若，，，求a的取值范围．

7 . 已知函数，
(1)求的值.
(2)求证：是定值
(3)求的值.

8 . 《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．设，，称为，的调和平均数．如图，为线段上的点，且，，为中点，以为直径作半圆．过点作的垂线，交半圆于，连结，，．过点作的垂线，垂足为．则图中线段的长度是，的算术平均数，线段的长度是，的几何平均数，线段__的长度是，的调和平均数，该图形可以完美证明三者的大小关系为__．

9 . 已知函数的定义域是，若对于任意的，，当时，都有，则称函数在上为不减函数.现有定义在上的函数满足下述条件：
①对于，总有，且，；
②对于，，若，则.
试证明下列结论：
(1)对于，，若，则；
(2)在上为不减函数；
(3)对，都有.

10 . 若两个函数和对任意都有，则称函数和在上是“疏远”的．
(1)已知命题“函数和在上是疏远的”，试判断该命题的真假．若该命题为真命题，请予以证明；若为假命题，请举反例；
(2)若函数和在上是“疏远”的，求实数a的取值范围；
(3)已知常数，若函数与在上是“疏远”的，求实数c的取值范围．