1 . 已知函数
与
有相同的定义域
．若存在常数
(
)，使得对于任意的
，都存在
，满足
，则称函数是函数关于的“
函数”．
(1)若
，
，试判断函数是否是关于
的“函数”，并说明理由；
(2)若函数与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：
；
(3)已知
，
，其定义域均为
．给定正实数
，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值．
与有相同的定义域．若存在常数()，使得对于任意的，都存在，满足，则称函数是函数关于的“函数”．(1)若
，，试判断函数是否是关于的“函数”，并说明理由；(2)若函数
与均存在最大值与最小值，且函数是关于的“函数”，又是关于的“函数”，证明：；(3)已知
，，其定义域均为．给定正实数，若存在唯一的，使得是关于的“函数”，求的所有可能值．
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2 . 已知奇函数
.
(1)求实数m的值；
(2)判断并证明
在区间
上的单调性；
(3)设
，对于任意的
，总存在
，使得
成立，求实数a的取值范围.
.(1)求实数m的值；
(2)判断并证明
在区间上的单调性；(3)设
，对于任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
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3 . 已知函数
.
(1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数；
(2)判断函数在
上的单调性，并说明理由；
(3)对于任意
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围.
.(1)求该函数的定义域，并证明其为奇函数；
(2)判断函数
在上的单调性，并说明理由；(3)对于任意
，不等式恒成立，求实数的取值范围.
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解题方法
4 . 若函数
满足：对任意正数
，都有
，则称函数为“H函数”．
(1)试判断函数
与
是否为“H函数”，并说明理由；
(2)若函数
是“H函数”，求实数a的取值范围；
(3)若函数为“H函数”，
，对任意正数s、t，都有
，
，证明：对任意
，都有
．
满足：对任意正数，都有，则称函数为“H函数”．(1)试判断函数
与是否为“H函数”，并说明理由；(2)若函数
是“H函数”，求实数a的取值范围；(3)若函数
为“H函数”，，对任意正数s、t，都有，，证明：对任意，都有．
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解题方法
5 . 函数的定义域为，若存在正实数
，对任意的
，总有
，则称函数具有性质
.
(1)判断下列函数是否具有性质
，并说明理由.
①
；②
；
(2)已知为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.用反证法证明：是偶函数；
(3)已知
，为给定的正实数，若函数
具有性质，求的取值范围.（用表示）
的定义域为，若存在正实数，对任意的，总有，则称函数具有性质.(1)判断下列函数是否具有性质
，并说明理由.①
；②；(2)已知
为二次函数，若存在正实数，使得函数具有性质.用反证法证明：是偶函数；(3)已知
，为给定的正实数，若函数具有性质，求的取值范围.（用表示）
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解题方法
6 . 设集合
存在正实数
，使得定义域内任意x都有
．
(1)若
，证明：
；
(2)若
，且
，求实数a的取值范围；
(3)若
，且
，求函数
的最小值．
存在正实数，使得定义域内任意x都有．(1)若
，证明：；(2)若
，且，求实数a的取值范围；(3)若
，且，求函数的最小值．
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解题方法
7 . 已知函数
．
(1)求函数的定义域；
(2)求证：
是奇函数．
．(1)求函数的定义域；
(2)求证：
是奇函数．
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解题方法
8 . 如果函数满足以下两个条件，我们就称为
型函数．
①对任意的
，总有
；
② 当
时，总有
成立．
(1)记
，求证：为型函数；
(2)设
，记
，若
是型函数，求
的取值范围；
(3)是否存在型函数
满足：对于任意的
，都存在
，使得等式
成立？请说明理由．
满足以下两个条件，我们就称为型函数．①对任意的
，总有；② 当
时，总有成立．(1)记
，求证：为型函数；(2)设
，记，若是型函数，求的取值范围；(3)是否存在
型函数满足：对于任意的，都存在，使得等式成立？请说明理由．
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2024-01-10更新
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379次组卷
|
2卷引用：上海市静安区2024届高三上学期期末教学质量调研数学试题
解题方法
9 . 已知
.
(1)解不等式
；
(2)判断函数
在其定义域上的单调性，并严格证明.
.(1)解不等式
；(2)判断函数
在其定义域上的单调性，并严格证明.
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解题方法
10 . 已知幂的基本不等式：当
，
时，
．请利用此基本不等式解决下列相关问题：
(1)当
，时，求
的取值范围；
(2)当，
时，求证：
；
(3)利用（2）证明对数函数的单调性：当时，对数函数
在
上是严格增函数．
，时，．请利用此基本不等式解决下列相关问题：(1)当
，时，求的取值范围；(2)当
，时，求证：；(3)利用（2）证明对数函数的单调性：当
时，对数函数在上是严格增函数．
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