高中数学人教A版（2019）必修第一册 4.5.3 函数模型的应用问答题试题/习题及答案-组卷网

2014·江苏南通·二模

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

分段函数模型的应用分式型函数模型的应用利用给定函数模型解决实际问题基本（均值）不等式的应用

名校

解题方法

利用基本不等式求参数范围

1 . 某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度

（单位：毫米/立方米）随着时间

（单位：小时）变化的关系如下：当

时，

；当

时，

．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
(1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒

个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求

的最小值（精确到0.1，参考数据：

取1.4）

2023-06-13更新 | 2186次组卷 | 69卷引用：2014届江苏省南通市高三第二次调研测试数学试卷

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2010·广东·一模

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

建立拟合函数模型解决实际问题面积、体积最大问题基本不等式求和的最小值

名校

解题方法

利用基本不等式求最值或值域利用导数求解函数的最值

2 . 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花园AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知

米，

米．

(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形

的面积最小？并求出最小面积．

2023-09-04更新 | 1193次组卷 | 69卷引用：2011届广东省华南师大附中高三综合检测数学理卷

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19-20高一上·湖南·阶段练习

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

指数函数模型的应用（2）利用给定函数模型解决实际问题

名校

解题方法

求解指数函数复合型函数的值域或最值

3 . 随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前3年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）：

建立平台第年	1	2	3	4
会员个数（千人）	14	20	29	43

(1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台

年后平台会员人数

（千人），并求出你选择模型的解析式：①

，②

，③

(2)为控制平台会员人数盲目扩大，平台规定会员人数不得超过

千人，依据（1）中你选择的函数模型求

的最小值.

2023-11-26更新 | 1072次组卷 | 13卷引用：湖南省五市十校2019-2020学年高一上学期第一次联考数学试题B卷

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2019·江苏·高考真题

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

利用给定函数模型解决实际问题求平面两点间的距离求点到直线的距离

真题名校

解题方法

数形结合思想

4 . 如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求:线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位:百米）．

（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；
（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；
（3）对规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．

2019-06-10更新 | 7203次组卷 | 51卷引用：2019年江苏省高考数学试卷

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22-23高一上·山东济宁·期末

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

指数函数模型的应用（2）利用给定函数模型解决实际问题

名校

5 . 流行性感冒简称流感，是流感病毒引起的急性呼吸道感染，也是一种传染性强、传播速度快的疾病.了解引起流感的某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防流感的传播有极其重要的意义，某科研团队在培养基中放入一定是某种细菌进行研究.经过2分钟菌落的覆盖面积为

，经过3分钟覆盖面积为

，后期其蔓延速度越来越快；菌落的覆盖面积

（单位：

）与经过时间

（单位：

）的关系现有三个函数模型：①

（

，

），②

（

），③

（

）可供选择.（参考数据：

，

）
(1)选出你认为符合实际的函数模型，说明理由，并求出该模型的解析式；
(2)在理想状态下，至少经过多少分钟培养基中菌落的覆盖面积能超过

？（结果保留到整数）

2023-02-10更新 | 1123次组卷 | 6卷引用：山东省济宁市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

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21-22高一下·浙江杭州·期中

解答题-问答题 | 较难(0.4) |

求分段函数解析式或求函数的值对数型复合函数的单调性分段函数模型的应用利用给定函数模型解决实际问题

名校

6 . 物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为

，经过一段时间

后的温度为

，则

，其中

为环境温度，

为参数.某日室温为

，上午8点小王使用某品牌电热养生壶烧1升水（假设加热时水温随时间变化为一次函数，且初始温度与室温一致），8分钟后水温达到

点18分时，壶中热水自然冷却到

.
(1)求8点起壶中水温

（单位：

）关于时间

（单位：分钟）的函数

；
(2)若当日小王在1升水沸腾

时，恰好有事出门，于是将养生壶设定为保温状态.已知保温时养生壶会自动检测壶内水温，当壶内水温高于临界值

时，设备不工作；当壶内水温不高于临界值

时，开始加热至

后停止，加热速度与正常烧水一致.若小王在出门34分钟后回来发现养生壶处于未工作状态，同时发现水温恰为

.（参考数据：

）
①求这34分钟内，养生壶保温过程中完成加热次数；（不需要写出理由）
②求该养生壶保温的临界值

.

2022-05-07更新 | 2051次组卷 | 13卷引用：浙江省杭州地区(含周边)重点中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

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2022·上海浦东新·二模

解答题-问答题 | 适中(0.65) |

分段函数模型的应用分式型函数模型的应用利用给定函数模型解决实际问题利用不等式求值或取值范围

名校

解题方法

分段函数求参数值或参数范围

7 . 某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量

（微克）随着时间

（小时）变化的函数关系式近似为

．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？

2022-06-23更新 | 2088次组卷 | 14卷引用：上海市浦东新区2022届高考二模数学试题

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22-23高一上·四川成都·期中

解答题-问答题 | 较易(0.85) |

利用二次函数模型解决实际问题分段函数模型的应用指数函数模型的应用（2）对数函数模型的应用（2）

名校

解题方法

分类讨论法解决二次函数闭区间上的最值问题求解指数函数复合型函数的值域或最值

8 . 科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量

（单位：克）的函数．研究过程中的部分数据如下表：

（单位：克）	0	2	6	10	…
	－4	8	8		…

已知当

时，

，其中

为常数．当

时，

和

的关系为以下三种函数模型中的一个：①

；②

且

；③

且

；其中

均为常数．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述

之间的关系，并求出其解析式；
(2)求该新材料的含量

为多少克时，产品的性能达到最大．

2023-06-26更新 | 902次组卷 | 7卷引用：四川省成都市成都市石室中学2022-2023学年高一上学期期中数学试题

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22-23高一上·江苏淮安·期末

解答题-问答题 | 较易(0.85) |

指数式与对数式的互化对数的运算指数函数模型的应用（2）利用给定函数模型解决实际问题

名校

解题方法

待定系数法求函数解析式

9 . 2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，目前的新冠病毒是奥密克戎变异株，其特点是：毒力显著减弱，但传染性很强，绝大多数人感染后表现为无症状或轻症，重症病例很少，长期一段时间以来全国没有一例死亡病例．某科研机构对奥密克戎变异株在特定环境下进行观测，每隔单位时间T进行一次记录，用x表示经过的单位时间数，用y表示奥密克戎变异株感染人数，得到如下观测数据：