1 . 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，都有，则称是“反比例对称函数”．设．
(1)判断函数是否为“反比例对称函数”，并说明理由；
(2)当时，若函数与的图像恰有一个交点，求的值；
(3)当时，设，已知在上有两个零点，证明：．

2 . 已知集合，记，，是自然数集
称函数，若对于任意，；
称函数是单调的，若对于任意，；
•称函数是次模的，若对于任意,
已知函数是次模的．
(1)判断是否一定是单调的，并说明理由；
(2)证明：对于任意，，；
(3)若是单调的，是正整数，，记，已知集合满足．初始集合，然后小明重复次如下操作：在集合中选取使得最小的元素加入集合，最终得到集合．证明：

4 . 已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，，…，，使得（其中，2，…，n，），则称为的“n重覆盖函数”.
(1)判断（）是否为（）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由；
(2)若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
(3)函数表示不超过x的最大整数，如，，，若，为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.

5 . 设集合．定义：和集合，积集合，分别用表示集合中元素的个数．
(1)若，求集合；
(2)若，求的所有可能的值组成的集合；
(3)若，求证：．

7 . 置换是代数的基本模型，定义域和值域都是集合的函数称为次置换.满足对任意的置换称作恒等置换.所有次置换组成的集合记作.对于，我们可用列表法表示此置换：，记.
(1)若，计算；
(2)证明：对任意，存在，使得为恒等置换；
(3)对编号从1到52的扑克牌进行洗牌，分成上下各26张两部分，互相交错插入，即第1张不动，第27张变为第2张，第2张变为第3张，第28张变为第4张，......，依次类推.这样操作最少重复几次就能恢复原来的牌型？请说明理由.