1 . 如图，在三棱锥中，、、、分别是、、、的中点，且，．

(1)证明：；
(2)证明：平面平面.

2 . 如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，．

(1)证明：平面平面；
(2)若与所成角为，求二面角的余弦值．

3 . 如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．

   

(1)求证：；
(2)求证：平面平面；
(3)在线段上是否存在点，使得平面?请说明理由．

4 . 如图，在三棱锥中，分别是，的中点，平面与棱交于点．

       

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．

5 . 如图，在长方体中，，，点和点在棱上，且.

   

(1)求证：平面；
(2)求证：.

6 . 如图，正方体的棱长为2．

   

(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)求二面角的正弦值．

7 . 如图，在四棱锥中，底面是矩形，为棱的中点，平面与棱交于点.

   

(1)求证：为棱的中点；
(2)若平面平面，，△为等边三角形，求四棱锥的体积.

8 . 如图，在直三棱柱中，分别为棱的中点.

   

(1)求证：平面；
(2)再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求证：平面平面.
条件①：；条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

9 . 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，是棱上的动点（不与重合），交平面于点.

   

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若是的中点，平面将四棱锥分成五面体和
五面体，记它们的体积分别为，直接写出的值.

10 . 如图，四棱锥的底面是菱形，侧面是正三角形，是上一动点，是中点．

   

(1)当是中点时，求证：∥平面；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．