1 . 给出集合
{
对任意
,都有
成立}.
(1)若
,求证:函数
;
(2)由于(1)中函数
既是周期函数又是偶函数,于是张同学猜想了两个结论:命题甲:集合M中的元素都是周期为6的函数:命题乙:集合M中的元素都是偶函数;请对两个命题给出判断,如果正确,请证明;如果不正确,请举反例:
(3)设p为常数,且
,求满足
成立的常数p的值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9163ebe812708ee5337d62298c2e3363.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/acfc163d35aa285e48bcc21d6e392b0d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24a57996290794e082b21d8f1dfc322a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/33b005e1e4b8e41c0028cd464835c464.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8c2d58d309affa76c49e442468c013dd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5314a9d2205a2beba0dcffb8fd943b18.png)
(2)由于(1)中函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8c2d58d309affa76c49e442468c013dd.png)
(3)设p为常数,且
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c7f87b7ddd102e6a5e9cfb282bb47ed.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e06a648a9da06fd9b05bb13cb8a5c047.png)
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解题方法
2 . 已知向量
与向量
的对应关系可用
表示.
(1)证明:对于任意向量
,
及常数m,n,恒有
成立;
(2)设
,
,求向量
及
的坐标;
(3)求使
成立的向量
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ccc04dc7b6641bf952daad9ef0997d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8acb51ec302e0df826ec67a5aeedd4a9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0e0e8b77133bc519162f519e42b1f463.png)
(1)证明:对于任意向量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/64c5562bd4d1b54424330cb6329cd79d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b45ba716f03748c19b7ce2f99af536ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4d99a1dabace6b00a0a70e09c7af43f0.png)
(2)设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/78b3515de9a26c0397039e077f272b1b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7d3ce134a42f342277ff7b53f6b1324f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3eadcaa2e51643c637a490aef7bff19d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bba365f31076d7e75f149f284ae081b4.png)
(3)求使
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d9412addd95de4764030cfdbe77e78e3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73a0b19e69be46452425916a0fcb49c9.png)
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2023-04-13更新
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104次组卷
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3卷引用:4.2平面向量及运算的坐标表示 课后巩固提升习题2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
4.2平面向量及运算的坐标表示 课后巩固提升习题2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第二章 4.2平面向量及运算的坐标表示-北师大版(2019)高中数学必修第二册(已下线)6.3.2+6.3.3+6.3.4平面向量的正交分解及坐标表示【第三练】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路
名校
解题方法
3 . 阅读材料:三角形的重心、垂心、内心和外心是与三角形有关的四个特殊点,它们与三角形的顶点或边都具有一些特殊的性质.
(一)三角形的“四心”
1.三角形的重心:三角形三条中线的交点叫做三角形的重心,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.
2.三角形的垂心:三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心,垂心和顶点的连线与对边垂直.
3.三角形的内心:三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心,也就是内切圆的圆心,三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r.
4三角形的外心:三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心,也就是三角形外接圆的圆心,它到三角形三个顶点的距离相等.
(二)三角形“四心”的向量表示
在
中,角
所对的边分别为
.
1.三角形的重心:
是
的重心.
2.三角形的垂心:
是
的垂心.
3.三角形的内心:
是
的内心.
4.三角形的外心:
是
的外心.
研究三角形“四心”的向量表示,我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题,充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题,这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用,也很好地体现了数形结合的数学思想.
结合阅读材料回答下面的问题:
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/7/29/ade3b84f-f648-4ea3-9d1f-1f223bf926d7.png?resizew=182)
(1)在
中,若
,求
的重心
的坐标;
(2)如图所示,在非等腰的锐角
中,已知点
是
的垂心,点
是
的外心.若
是
的中点,求证:
.
(一)三角形的“四心”
1.三角形的重心:三角形三条中线的交点叫做三角形的重心,重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1.
2.三角形的垂心:三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心,垂心和顶点的连线与对边垂直.
3.三角形的内心:三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心,也就是内切圆的圆心,三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r.
4三角形的外心:三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心,也就是三角形外接圆的圆心,它到三角形三个顶点的距离相等.
(二)三角形“四心”的向量表示
在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/24e0c10fb103930eabd5fa18e8f9bb06.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/76f0649064a085fb74c997fb507a9b6d.png)
1.三角形的重心:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b93c2e06509eb7087d76b21ab73701b3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
2.三角形的垂心:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/afb403a2aeaf2bff58aaab2eee17910f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
3.三角形的内心:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/794748a2cd3415724caca156e359abbe.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
4.三角形的外心:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5b175450140c6866cf1a807f71b06013.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
研究三角形“四心”的向量表示,我们就可以把与三角形“四心”有关的问题转化为向量问题,充分利用平面向量的相关知识解决三角形的问题,这在一定程度上发挥了平面向量的工具作用,也很好地体现了数形结合的数学思想.
结合阅读材料回答下面的问题:
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/7/29/ade3b84f-f648-4ea3-9d1f-1f223bf926d7.png?resizew=182)
(1)在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e260e695638c2651ce4b9b85b16b325b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/895dc3dc3a6606ff487a4c4863e18509.png)
(2)如图所示,在非等腰的锐角
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73465a1f9aa03481295bf6bd3c6903ac.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1dde8112e8eb968fd042418dd632759e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac047e91852b91af639feec23a9598b2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0dc5c9827dfd0be5a9c85962d6ccbfb1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/60cde0e1f12e802bc1b490a4c70f4f41.png)
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2022-07-16更新
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1348次组卷
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2卷引用:贵州省贵阳市2021-2022学年高一下学期期末监测考试数学试题
解题方法
4 . 对于一个向量组
,令
,如果存在
,使得
,那么称
是该向量组的“好向量”
(1)若
是向量组
的“好向量”,且
,求实数
的取值范围;
(2)已知
,
,
均是向量组
的“好向量”,试探究
的等量关系并加以证明.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/153cbba188fca9ff2e6b31a49d5b6229.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e31866ce53f59ecf68618ac87f37d721.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3d0d561daae579f69538ace2a8f00916.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c9d5830f763967adbf6db9c5d1cc4af4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ccf315b7361dbc0af56a1c515d32216c.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/edb6823d280520da116cf1bc3943cf42.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a4110b20b2c0f07c2688bf3a48d7ff68.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4c0f3eb9b0030afe2ed4799a984ce7cd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
(2)已知
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a223991a4ec2ca30469960f093ddb1c2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/acc72f5677dda2b1de520c4cc3c1ceb1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/edb6823d280520da116cf1bc3943cf42.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a4110b20b2c0f07c2688bf3a48d7ff68.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a4110b20b2c0f07c2688bf3a48d7ff68.png)
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名校
5 . 在平面上,给定非零向量
,对任意向量
,定义
.
(1)若
=(-1,3),
=(2,3),求
;
(2)若
=(2,1),位置向量
的终点在直线x+y+1=0上,求位置向量
终点轨迹方程;
(3)对任意两个向量
,求证∶
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/433b94c39737727e53468df419d8314a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cb80eb942aafb194fadc473776f35b1d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e9181079d14f7c1bc9b5b2624f94edca.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/433b94c39737727e53468df419d8314a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cb80eb942aafb194fadc473776f35b1d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e4f2d19b69f787a07ba6b8abe06802c0.png)
(2)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/433b94c39737727e53468df419d8314a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cb80eb942aafb194fadc473776f35b1d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e4f2d19b69f787a07ba6b8abe06802c0.png)
(3)对任意两个向量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1721476f7850842ba3dc3d8be33c3723.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/835ebae7895448fd3d6551b953565ab3.png)
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名校
解题方法
6 . 已知向量
与向量
的对应关系用
表示.
(1)证明:对任意向量
、
及常数
、
,恒有
;
(2)设
,
,求向量
及
的坐标;
(3)求使
(
、
为常数)的向量
的坐标.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b91b0e5ad368c6da34f2263de056fee5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/794953fe619ca196431d6beaa0076e0a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa48cf7be8957cd677297267735bee62.png)
(1)证明:对任意向量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cb80eb942aafb194fadc473776f35b1d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/433b94c39737727e53468df419d8314a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3f2c07ad0724802023f1e232aed55ff1.png)
(2)设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/479779070b95c1c2845f0a24dc8d5f17.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4568d49578f17e744a5d6f6b5d2ed4bf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d17f98350f6070505458786e9953eb99.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5917359f912d80b0a4ba3269aa91e6dd.png)
(3)求使
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ac6d4148ee2d5baa49302c6049eded0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b1010846eeec6c9da29640f5aa3f8738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9aa8a716a31b0f51b70fdf9bdb257909.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bb573cc0f30d5c32cdad1510793f0e7b.png)
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名校
解题方法
7 . 已知平面上三点A,B,C的坐标依次为
,
,
.
(1)若
为直角三角形,且角A为直角,求实数k的值;
(2)在(1)的条件下,设
,
,若
,证明:
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ed37520eb88c41828ad26f0a2b2de971.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/47fa19dde2fb0cc8274390a05a6095cf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c00999ca76efc3763c13c6b4260c4498.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0faed94a64b2dcfc6801b4fca0f16675.png)
(2)在(1)的条件下,设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4e49d2c72a35f1ce4d1d26574934a014.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a303aee4aea8d84cfa947002b0eaeb1b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/768434e9275596ec3f60ec46454a16e4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bbae94f2dd5086f7ddbe18407a978e9b.png)
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2020-03-03更新
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728次组卷
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4卷引用:山东省菏泽市东明县第一中学2018-2019学年高一下学期期中数学试题
13-14高二上·河北衡水·阶段练习
名校
8 . 在平面直角坐标系
中,直线
与抛物线
相交于不同的
两点.
(1)如果直线
过抛物线的焦点,求
的值;
(2)如果
,证明直线
必过一定点,并求出该定点.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7795aec93c2c7ac2fd93e6747ca6516c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f85fca60a11e1af2bf50138d0e3fe62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/745de5ef1fd897d16e37464172d5e8c9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e52586ca2a3b783bc8092415e2d4bf6d.png)
(1)如果直线
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f85fca60a11e1af2bf50138d0e3fe62.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3c26c13f906404a76a96fa18600b931f.png)
(2)如果
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/14cc99d2d269835f06c7221727116729.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f85fca60a11e1af2bf50138d0e3fe62.png)
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2019-02-14更新
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895次组卷
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14卷引用:2013-2014学年河北衡水中学高二上第四次调研考试文数学卷
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12-13高三上·福建福州·期末
名校
9 . “无字证明”(proofs without words), 就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现.请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:__________________ .
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2016-12-01更新
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539次组卷
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9卷引用:2012届福建省福州市高三第一学期期末质量检测文科数学
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