1 . 设常数，已知复数，和，其中均为实数，为虚数单位，且对于任意复数，有，将作为点的坐标，作为点的坐标，通过关系式，可以看作是坐标平面上点的一个变换，它将平面上的点变到这个平面上的点.
（1）分别写出和用表示的关系式；
（2）设，当点在圆上移动时，求证：点经该变换后得到的点落在一个圆上，并求出该圆的方程；
（3）求证：对于任意的常数，总存在曲线，使得当点在上移动时，点经这个变换后得到的点的轨迹是二次函数的图像，并写出对于正常数，满足条件的曲线的方程.

2 . 设S、T是R的两个非空子集，如果函数满足：①；②对任意，，当时，恒有，那么称函数为集合S到集合T的“保序同构函数”.
（1）试写出集合到集合R的一个“保序同构函数”；
（2）求证：不存在从集合Z到集合Q的“保序同构函数”；
（3）已知是集合到集合的“保序同构函数”，求s和t的最大值.

3 . 设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”
（1）当时，判断和是否为集合的“相关数”，说明理由；
（2）若为集合的“相关数”，证明：.

4 . 已知数列的各项均为正数，，且对任意,都有，数列前n项的和.
（1）若数列是等比数列，求的值和；
（2）若数列是等差数列，求和的关系式；
（3），当时，求证: 是一个常数.

5 . 已知为线段（所在的直线）外一个定点，记
（1）若是线段的三等分点，试用表示；
（2）若线段上有若干个等分点，能得到什么结论？请证明你的结论.（注：根据结论的一般性程度予以不同得分）

6 . 在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:
具体过程如下：
如图，在平面直角坐标系内作单位圆O，以为始边作角.它们的终边与单位圆O的交点分别为A，B.

则
由向量数量积的坐标表示，有：

设的夹角为θ，则

另一方面，由图3.1—3（1）可知，；由图可知，

.于是.
所以，也有，
所以，对于任意角有：（）
此公式给出了任意角的正弦、余弦值与其差角的余弦值之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作.
有了公式以后，我们只要知道的值，就可以求得的值了.
阅读以上材料，利用下图单位圆及相关数据（图中M是AB的中点），采取类似方法（用其他方法解答正确同等给分）解决下列问题：
（1）判断是否正确？（不需要证明）
（2）证明：
（3）利用以上结论求函数的单调区间.

7 . 已知，求证：.

8 . 已知二次函数.
（1）若，解不等式组：；
（2）若，对任意的，证明：中至少有一个非负.

9 . 数列中，，若
（1）求；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

10 . 阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题. 证明：
证：令，

，故.
（1）若，利用上述结论，证明：；
（2）若，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：.（提示：若，有）