1 . 我们用表示某个关于的代数式，现在有如下两个关于的真命题：
①对任意的实数、，都有；
②对任意的实数、，都有成立；
其中是大于的常数．设实数、、满足条件且．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：．

2 . 对于函数，如果其图象上存在不同的两点，，，使得这两点处的切线重合，那么我们称函数存在“双切点切线”.已知函数
(1)已知函数的一条“双切点切线”的斜率等于1，切点、的横坐标，求实数的值；
(2)如果函数存在“双切点切线”，求实数的取值范围.

3 . 对于定义在D上的函数，其导函数为．若存在，使得，且是函数的极值点，则称函数为“极致k函数”．
(1)设函数，其中，．
①若是单调函数，求实数a的取值范围；
②证明：函数不是“极致0函数”．
(2)对任意，证明：函数是“极致0函数”．

4 . 函数在区间，上连续，对，上任意二点与，有时，我们称函数在，上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函数）在给定区间内恒为正，即.下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（       ）

A．	B．
C．	D．

5 . 在水平桌面上放一只内壁光滑的且近似抛物面型的玻璃水杯，取一些长短不一的细直金属棒随意丢入该水杯中，抛物面型的轴截面是如图所示的抛物线，长短不一的细直金属棒会呈现图中的现象.

（1）猜想细金属棒交汇点性质；
（2）结合猜想，根据物理学原理，对上述现象作出假说；
（3）将假说数学化；
（4）证明假说；
（5）用一句话评价你的探索过程.

6 . 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：），其中容器的中间为圆柱形，左、右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为，且，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，已知圆柱形部分每平方米的建造费用为3万元，半球形部分每平方米的建造费用为（）万元，该容器的总建造费用为万元.

（1）写出关于的函数表达式，并求该函数的定义域；
（2）求该容器的总建造费用最少时的的值.

7 . 若存在可被划分为个全等的小三角形，则不可能是（       ）

A．5

B．11

C．28

D．48

8 . 易拉罐用料最省问题的研究．小明同学最近注意到一条新闻，易拉罐(如图所示)作为饮品的容器，每年的用量可达数万亿个．这让他想到一个用料最优化的问题，即在易拉罐的体积一定的情况下，如何确定易拉罐的高和半径才能使得用料最省？他研究发现易拉罐的上盖､下底和侧壁的厚度是不同的，进而结合数学建模知识进行了深入研究．以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．

以下是小明的研究过程，请你补全缺失的部分．
（1）模型假设：
①易拉罐近似看成圆柱体；
②上盖､下底､侧壁的厚度处处均匀；
③上盖､下底､侧壁所用金属相同；
④易拉罐接口处的所用材料忽略不计．
（2）建立模型
记圆柱体积为，高为，底面半径为，上盖､下底和侧壁的厚度分别为，
金属用料总量为C．
由几何知识得到如下数量关系：
①
②

由①得，代入②整理得：．

因为都是常数，不妨设，
则用料总量的函数简化为．
请写出表格中代入整理这一步的目的是：___________________________．
（3）求解模型：
所以，在___________(用表示)时，取得最小值，即在此种情况下用料最省．
（4）检验模型：
小明上网查阅到目前330毫升可乐易拉罐的数据，得知，代入（3）的模型结果，经计算得经验算，确认计算无误，但是这与实际罐体半径差异较大．实际上，在经济利益驱动之下，目前的罐体成本应该已经达最优．
（5）模型评价与改进：
模型计算结果与现实数据存在较大差异的原因可能为：_________________________________________________________________________________________________．
相应改进措施为：_________________________________________________________________________________________________________________________________．

9 . 如果空间凸多面体的顶点数为，棱数为，面数为，那么，这个定理是由瑞士数学家欧拉在1752年提出的，该定理提供了拓扑变换的不变量而发展了拓扑学，被称为拓扑学的欧拉定理或欧拉公式.1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家，是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面体，这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，则分子中六边形的个数为（       ）

A．12

B．16

C．18

D．20

10 . 1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，被誉为“数学中的天桥”，据欧拉公式，则（       ）

A．	B．
C．	D．