1 . ，，，这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中.在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算.在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表：

	合格	不合格	合计
高三年级的学生	54
高一年级的学生		16
合计			100

(1)请完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？
(2)以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为，求的分布列和数学期望.
附：，

	0.100	0.050	0.010	0.001
	2.706	3.841	6.635	10.828

2 . “马街书会”是流行于河南省宝丰县的传统民俗活动，为国家级非物质文化遗产之一．每年农历正月十三来自省内外的说书艺人负鼓携琴，汇集于此，说书亮艺，河南坠子、道情、曲子、琴书等曲种应有尽有，规模壮观．为了解人们对该活动的喜爱程度，现随机抽取200人进行调查统计，得到如下列联表：

	不喜爱	喜爱	合计
男性		90	120
女性	25
合计			200

附：，其中．

	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

(1)完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别与对该活动的喜爱程度有关联？
(2)为宣传曲艺文化知识，当地文化局在书会上组织了戏曲知识竞赛活动．活动规定从8道备选题中随机抽取4道题进行作答．假设在8道备选题中，戏迷甲正确完成每道题的概率都是，且每道题正确完成与否互不影响；戏迷乙只能正确完成其中的6道题．
①求戏迷甲至少正确完成其中3道题的概率；
②设随机变量表示戏迷乙正确完成题的个数，求的分布列及数学期望．

3 . 一题多解是由多种途径获得同一数学问题的最终结论，一题多解不但达到了解题的目标要求，而且让学生的思维得以拓展，不受固定思维模式的束缚．学生多角度、多方位地去思考解题的方案，让解题增添了新颖性和趣味性，并在解题中解放了解题思维模式，使得枯燥的数学解题更加丰富而多彩．假设某题共存在4种常规解法，已知小红使用解法一、二、三、四答对的概率分别为，且各种方法能否答对互不影响，小红使用四种解法全部答对的概率为．
(1)求的值；
(2)求小红不能正确解答本题的概率；
(3)求小红使用四种解法解题，其中有三种解法答对的概率．

4 . 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）：
男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12；
女生：5，5，6，7，8，9，11，13．
假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立．
(1)根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率；
(2)现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望；
(3)现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明）

5 . 数独是源自18世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据9×9盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫(3×3)内的数字均含1～9，且不重复．数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛．
参考数据：

1 750	0.37	0.55

参考公式：对于一组数据，其经验回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
(1)赛前小明进行了一段时间的训练，每天解题的平均速度y(秒/题)与训练天数x(天)有关，经统计得到如下数据：

x(天)	1	2	3	4	5	6	7
y(秒/题)	910	800	600	440	300	240	210

现用作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；(，用分数表示)
(2)小明和小红玩“对战赛”，每局两人同时开始解一道数独题，先解出题的人获胜，不存在平局，两人约定先胜3局者赢得比赛．若小明每局获胜的概率为，且各局之间相互独立，设比赛X局后结束，求随机变量X的分布列及均值．

6 . 2023年3月，某校举行政教主任副职竞聘选举，为了解学生对竞聘结果的满意度，评分70分以下为不满意，70分及以上为满意，从高三学生抽取100名学生进行评分（满分100分），绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为两个等级：

性别	满意度		合计
	不满意	满意
男生
女生
合计

(1)求频率分布直方图中的值及评分众数；
(2)已知在不满意的学生中男生占比，满意的学生中女生占比，填写列联表；并根据小概率值的独立性检验，能否判断性别与满意度有关；
(3)若按是否满意用比例分层随机抽样的方法从100名学生中抽取10人，现从抽取的10名学生中进行调研，每轮调研一人，调研视为不放回抽取，调研到不满意的学生就停止抽取，且第四轮抽取不管结果如何都停止抽取，记停止抽取时抽取轮数为，求的数学期望.
附：临界值表

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：，其中）

7 . 富比尼原理又称算两次原理，是组合数学中非常重要的计算方法，下面的组合恒等式可以用富比尼原理进行证明，具体如下：人中有1人是军人，从人中选人各奖励1颗星，共有种选法，另一方面，这等价于考虑这人中的军人是否被选中，若选中军人，则有种选法，若未选中军人，则有种选法，所以；
(1)若，求关于的方程的解；
(2)将题干中的问题推广到人中有人是军人的情形，写出结论并加以证明．

8 . 第十四届全国人民代表大会第一次会议于2023年3月5日上午开幕，3月13日上午闭幕.某校为了解学生对新闻大事的关注度，在该校随机抽取了100名学生进行问卷调查，问卷成绩近似服从正态分布，且.
(1)估计抽取学生中问卷成绩在90分以上的学生人数；
(2)若本次问卷调查的得分不低于80分，则认为该学生对新闻大事关注度极高，在该校随机抽取10名学生，记对新闻大事关注度极高的学生人数为，求的期望.

9 . 某企业因技术升级，决定从2023年起实现新的绩效方案．方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答技术”进行问卷调查：
一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球．企业所有员工从袋子中有放回的随机摸两次球，每次摸出一球．约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式Ⅰ回答问卷，否则按方式Ⅱ回答问卷”．
方式Ⅰ：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“○”，否则画“×”；
方式Ⅱ：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“○”，否则画“×”．
当所有员工完成问卷调查后，统计画○，画×的比例．用频率估计概率，由所学概率知识即可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值．其中满意度．
(1)若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式Ⅰ回答问卷的人数，求X的数学期望；
(2)若该企业的所有调查问卷中，画“○”与画“×”的比例为4：5，试估计该企业员工对新绩效方案的满意度．

10 . 今天，中国航天仍然迈着大步向浩瀚宇宙不断探索，取得了举世瞩目的非凡成就．某学校为了解学生对航天知识的知晓情况，在全校学生中开展了航天知识测试（满分100分），随机抽取了100名学生的测试成绩，按照，，，分组，得到如下所示的样本频率分布直方图：
   
(1)根据频率分布直方图，估计该校学生测试成绩的中位数；
(2)用样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生的成绩，用表示这10名学生中恰有k名学生的成绩在上的概率，求取最大值时对应的k的值；
(3)从测试成绩在的同学中再次选拔进入复赛的选手，一共有6道题，从中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者才可以进入复赛．现有甲、乙两人参加选拔，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对3道，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．记甲、乙两人中进入复赛的人数为，求的分布列及期望．