1 . 在计算机科学中，
维数组
是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于维数组
，
，定义
与
的差为
与之间的距离为
．
(1)若维数组
，证明：
；
(2)证明：对任意的数组A，B，C，有
；
(3)设集合
中有
个维数组，记中所有两元素间的距离的平均值为
，证明：
．
维数组是一种基础而重要的数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用．对于维数组，，定义与的差为与之间的距离为．(1)若
维数组，证明：；(2)证明：对任意的数组A，B，C，有
；(3)设集合
中有个维数组，记中所有两元素间的距离的平均值为，证明：．
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2024·全国·模拟预测
2 . 中国女排是中国各体育团队中成绩突出的体育团队之一，曾是世界上第一个“五连冠”得主，并十度成为世界冠军，2023年在杭州第19届亚运会上女排再度获得冠军．她们那种团结协作、顽强拼搏的精神极大地激发了中国人的自豪、自尊和自信，为我们在新征程上奋进提供了强大的精神力量．如今，女排精神广为传颂，家喻户晓，各行各业的人们在女排精神的激励下，为中华民族的腾飞顽强拼搏．某中学也因此掀起了排球运动的热潮，在一次排球训练课上，体育老师安排4人一组进行传接球训练，其中甲、乙、丙、丁四人刚好围成一个矩形（如图），已知当某人控球时，传给其相邻同学的概率为
，传给对角线上的同学的概率为
，由甲开始传球．
(2)求第次传球后排球传到丙手中的概率；
(3)若随机变量
服从两点分布，且
，
，
，…，，则
，记前次（即从第1次到第次传球）中排球传到乙手中的次数为
，求
．
，传给对角线上的同学的概率为，由甲开始传球．
(2)求第
次传球后排球传到丙手中的概率；(3)若随机变量
服从两点分布，且，，，…，，则，记前次（即从第1次到第次传球）中排球传到乙手中的次数为，求．
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解题方法
3 . 春节将至，又是一年万家灯火的团圆之时．方方正正的小城里，住着
户人家，恰好构成了坐标平面上集合
的所有点．夜里，小城的人家挂上大红灯笼，交相辉映，将小城的夜晚编织成发光的大网．在坐标平面上看，A中的每个点均独立地以概率p被点亮，或以
的概率保持暗灭．若A中两个点的距离为1，则这两个点被称为是相邻的．若A中的n个被点亮的点
构成一依次相邻的点列
，则称这n个点组成的集合
是长度为n的“相邻灯笼串”．规定空集是长度为0的“相邻灯笼串”．
(1)给定A中3个依次相邻的点
，记随机变量X为集合
包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值，试直接写出随机变量X的分布列（用p表示）；
(2)若
，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01；
(3)若
，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99．
户人家，恰好构成了坐标平面上集合的所有点．夜里，小城的人家挂上大红灯笼，交相辉映，将小城的夜晚编织成发光的大网．在坐标平面上看，A中的每个点均独立地以概率p被点亮，或以的概率保持暗灭．若A中两个点的距离为1，则这两个点被称为是相邻的．若A中的n个被点亮的点构成一依次相邻的点列，则称这n个点组成的集合是长度为n的“相邻灯笼串”．规定空集是长度为0的“相邻灯笼串”．(1)给定A中3个依次相邻的点
，记随机变量X为集合包含的“相邻灯笼串”的长度的最大值，试直接写出随机变量X的分布列（用p表示）；(2)若
，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率小于0.01；(3)若
，证明：存在长度为1000的“相邻灯笼串”的概率大于0.99．
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23-24高三上·北京西城·期末
名校
解题方法
4 . 给定正整数
，已知项数为
且无重复项的数对序列：
满足如下三个性质：①
，且
；②
；③
与
不同时在数对序列中.
(1)当
，
时，写出所有满足
的数对序列；
(2)当
时，证明：
；
(3)当
为奇数时，记的最大值为
，求.
，已知项数为且无重复项的数对序列：满足如下三个性质：①，且；②；③与不同时在数对序列中.(1)当
，时，写出所有满足的数对序列；(2)当
时，证明：；(3)当
为奇数时，记的最大值为，求.
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2024-01-19更新
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2112次组卷
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7卷引用：北京市西城区2024届高三上学期期末数学试题
（已下线）北京市西城区2024届高三上学期期末数学试题北京市西城区2024届高三上学期期末数学试题（已下线）高三数学开学摸底考 （北京专用）2024年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷二（九省联考题型）江西省南昌市第二中学2024届高三“九省联考”考后适应性测试数学试题（四）江苏省连云港高级中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷广东省深圳市外国语学校2024届高三教学情况测试（一）数学试题
2024高三·全国·专题练习
名校
解题方法
5 . 有个元素，将其中相同的元素归成一类，共有k类，这k类元素中每类分别中
个，
，将这个元素全部取出的排列叫做个不尽相异元素的全排列．
(1)求上述
个不尽相异的元素的全排列数．(2)由结论（1），回答“1个球队与10个球队各比赛1次，共有10场比赛，问五胜三负二平的可能情形有多少种？”
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解题方法
6 . 某学校组织竞赛，有A，B，C三类问题可供选择，其中A问题答对可得5分，答错0分，B问题答对只可得3分，但答错只有2分，C问题答对得4分，答错0分，现小明与小红参加此竞赛，小红答对3种问题的概率均为0.5，小明答对A，B，C问题的概率分别为0.3，0.7，0.5.
(1)小红一共参与回答了3题，且该
题分为为、和
这类题，记X为小红的累计得分，求X的分布列；(2)小明也参与回答了3道问题，3道问题可以是同一类，也可以不是同一类，记Y为小明的累计得分，求该如何分配问题，使得E[Y]最大.
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名校
解题方法
7 . 某种植物感染病毒
极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种抗病毒的制剂．现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的量（单位：毫克）进行统计．规定植株吸收在6毫克及以上为“足量”，否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株．
(1)补全列联表中的空缺部分，依据
的独立性检验，能否认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？
(2)现假设该植物感染病毒后的存活日数为随机变量
（可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的
，存活日数为
的样本在存活日数超过
的样本里的数量占比与存活日数为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．试推导
的表达式，并求该植物感染病毒后存活日数的期望
的值．
附：
，其中
；当足够大时，
．
极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种抗病毒的制剂．现对20株感染了病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效．测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的量（单位：毫克）进行统计．规定植株吸收在6毫克及以上为“足量”，否则为“不足量”．现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表．已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株．| 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 吸收量（毫克） | 6 | 8 | 3 | 8 | 9 | 5 | 6 | 6 | 2 | 7 |
| 编号 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 吸收量（毫克） | 7 | 5 | 10 | 6 | 7 | 8 | 8 | 4 | 6 | 9 |
的独立性检验，能否认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？| 吸收足量 | 吸收不足量 | 合计 | |
| 植株存活 | 1 | ||
| 植株死亡 | |||
| 合计 | 20 |
后的存活日数为随机变量（可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的，存活日数为的样本在存活日数超过的样本里的数量占比与存活日数为1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．试推导的表达式，并求该植物感染病毒后存活日数的期望的值．附：
，其中；当足够大时，． | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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名校
解题方法
8 . 在三维空间中，立方体的坐标可用三维坐标
表示，其中
．而在n维空间中
，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标
，其中
．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与
坐标差的绝对值之和，即为
．回答下列问题：
(1)求出n维“立方体”的顶点数；
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于
．
（已知对于正态分布
，P随X变化关系可表示为
）
表示，其中．而在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．现有如下定义：在n维空间中两点间的曼哈顿距离为两点与坐标差的绝对值之和，即为．回答下列问题：(1)求出n维“立方体”的顶点数；
(2)在n维“立方体”中任取两个不同顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离
①求出X的分布列与期望；
②证明：在n足够大时，随机变量X的方差小于
．（已知对于正态分布
，P随X变化关系可表示为）
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2023-08-25更新
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2008次组卷
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6卷引用：四川省成都市第七中学（高新校区）2024届高三上学期入学考试数学（理科）试题
四川省成都市第七中学（高新校区）2024届高三上学期入学考试数学（理科）试题广东省广州市真光中学2024届高三上学期9月月考数学试题江苏省扬州市扬州中学2024届新高考一卷数学模拟测试一（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大题型）（练习）（已下线）黄金卷08（2024新题型）黑龙江省哈尔滨市双城区兆麟中学2023-2024学年高二下学期第二次月考（6月）数学试题
名校
9 . 已知为正整数，对于给定的函数
，定义一个次多项式
如下:
(1)当
时，求;
(2)当
时，求;
(3)当
时，求.
为正整数，对于给定的函数，定义一个次多项式如下:(1)当
时，求;(2)当
时，求;(3)当
时，求.
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2023高三·全国·专题练习
解题方法
10 . 个人参加一次聚会，每人带来一顶帽子和一把雨伞，会后每人任取一顶帽子和一把雨伞．
(1)有多少种可能，使得没有人能拿回他原来的任意一件物品？
(2)有多少种可能，使得有人能拿回他原来的物品？
(3)有多少种可能，使得恰有1人拿回他原来的物品，而其余的
个人没有人能拿回他原来的任意一件物品？
个人参加一次聚会，每人带来一顶帽子和一把雨伞，会后每人任取一顶帽子和一把雨伞．(1)有多少种可能，使得没有人能拿回他原来的任意一件物品？
(2)有多少种可能，使得有人能拿回他原来的物品？
(3)有多少种可能，使得恰有1人拿回他原来的物品，而其余的
个人没有人能拿回他原来的任意一件物品？
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