1 . 设是整数1，2，…，的一个排列，且满足
（1）；
（2）.
记上述排列的个数为. 试求被3除的余数.

2 . 设有2009个人站成一排，从第一名开始1至3报数，凡报到3的就退出队伍，其余的向前靠拢站成新的一排.再按此规则继续进行，直到第次报数后只剩下3人为止.试问：最后剩下的3人最初站在什么位置？

3 . 如果一个数列的任意相邻三项、、满足，则称该数列为“对数性凸数列”.设正项数列是对数性凸数列.求证：.

4 . 过直线上的点作椭圆的切线，切点分别为，联结．
（1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点；
（2）当时，定点平分线段．

5 . 已知函数在区间（）上的最小值为，令（）．求证：．

6 . 某校课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第棵树种植在点处，其中，．当时，其中，表示实数的整数部分（如．按此方案，第2008棵树种植点的坐标为______．

7 . 联结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦的长度分别等于分别为的中点，每两条弦的两端都在球面上运动．给出下面四个命题：
①弦可能交于点；②弦可能交于点；③的最大值为5；④的最小值为1．其中，真命题为

A．①③④

B．①②③

C．①②④

D．②③④

8 . 在平面直角坐标系中定义点之间的交通距离为.
若到点的交通距离相等，其中，实数满足，则所有满足条件的点的轨迹的长之和为____________.

9 . 将m位性别相同的客人，按如下方法安排入住这n个房间：首先，安排1位客人和余下的客人的入住房间；然后，从余下的客人中安排2位客人和再次余下的客人的入住房间；依此类推，第几号房就安排几位客人和余下的客人的入住.这样，最后一间房间正好安排最后余下的n位客人.试求客人的数和客房的房间数，以及每间客房入住客人的数.

10 . 设A、B分别为椭圆和双曲线的公共左、右顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且满足.设直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为、、、.
（1）求证：；
（2）设、分别为椭圆和双曲线的右焦点，若，求的值.